2019届二轮复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

  1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念

一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.

    2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念

一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.

    3. 两个原理的区别：

（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.

（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.

   4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.

【重点难点突破】

考点1  分类加法计数原理与分步乘法计数原理

【1-1】【山东省2018年普通高校招生（春季）】景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（   ）

A． 6    B． 10    C． 12    D． 20

【答案】C

【解析】

先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是

因此选C.

【1-2】【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是        ．

【答案】60

【解析】

法，故答案是60.

【1-3】【2017届山东省枣庄市第三中学高三 “二调”模拟】某校选定甲、乙、丙、丁、戊共名教师去个边远学校支教，每学校至少人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有          种．

【答案】

综合点评：这些题都是分类计数原理与分步计数原理的应用, 解决这一类问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么,分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数；分步要做到“步骤完整”.

【领悟技法】

1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．

2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．

 3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：

(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．

(3)对完成各步的方法数要准确确定．

4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．

(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．

 (4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．   

5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．

(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．

6. 分类加法计数原理的两个条件：

(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．

分步乘法计数原理的两个条件：

(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．

(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．

7. 应用两种原理解题

(1)分清要完成的事情是什么？

(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；

(3)有无特殊条件的限制；

(4)检验是否有重漏．

8. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.

涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.

涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．

【触类旁通】

【变式一】【2016全国甲理5】如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）

A.24       B.18      C.12      D.9

【答案】B

【解析】从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法.故选B．

【变式二】【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是          （用数字作答）．

【答案】32

【解析】排成一行的6个球，第一个球可从左边取，也可从右边取，有2种可能，同样第二个球也有2种可能，…，第五个球也有2种可能，第六个球只有1种情形，因此不同的排法数为．

【变式三】【2017年北京市昌平区高三第二次统一练习】某校高三年级5个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场.到现在为止，1班已经比了4场，2班已经比了3场，3班已经比了2场，4班已经比了1场，则5班已经比了      场.

【答案】

答：⑤号已经比了场，即 班已经比了场，故答案为.

【易错试题常警惕】

易错典例：在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)

A．10              B．11                C．12  D．15

易错分析：分类混淆、计数原理使用不当致误

温馨提醒：该题中要求解的是“至多有两个对应位置上的数字相同”，易出现的问题是分类混淆，漏掉各位数字信息均不相同的情况，解决此类问题的关键是准确确定分类标准，分类计数时要做到不重不漏．

【学 素养提升之思想方法篇】

………………与计数原理有关的新定义问题

分类、分步计数原理可以应用于代数、几何，现实生活中的问题，带有新定义的问题，要抓住关键．理解新定义的特征，转化为分类、分步计数原理．   

【典例1】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)

A．48    B．18

C．24    D．36

【答案】D

【典例2】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.

则：(1)4位回文数有        个；

(2)2n＋1(n∈N )位回文数有        个．

【答案】（1）90；（2）9×10n

温馨提醒　(1)2题一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，体现了化归思想，将确定回文数的问题转化为“填方格”问题，进而利用分步乘法计数原理解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决．

(2)从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确.