2019届二轮复习（理）分段函数与零点学案（全国通用）
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【母题 一】【2018高考新课标1理数9】
【母题原题】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）
【答案】C
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查分段函数性质.
【命题规律】函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题．| |k ]
【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步：
第一步：确定要求值的自变量属于哪一段区间，
第二步：选定相应的解析式代入求解．
【方法总结】分段函数两种题型的求解策略学 ]
(1)根据分段函数的解析式求函数值．首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)．应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．
注意：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
1．【福建省宁德市2018届高三下学期第二次（5月）质量检查】已知若函数只有一个零点，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析:先求出分段函数的每一段的单调性，从而得到函数的单调性，再利用函数的单调性转化为只有一个解,最后利用二次函数的图像性质得解.
点睛：解答本题关键有两点，其一是分析出函数的单调性，先利用复合函数的单调性得到函数在 都是增函数,再根据端点值得到函数是单调增函数,其二是将命题转化为只有一个解.对于函数的零点问题常用的是图像法.
2．【甘肃省武威市第六中学2017-2018学年高二下学期第三次学段考试】设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．
【详解】
函数f（x）=，的图象如图：
满足f（x+1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，
解得x∈（﹣∞，0）．
故选：A．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查逻辑推理能力及计算能力．
3．【重庆市綦江中学2018届高三高考适应性考试】已知函数 的零点为3，则=（ ）
A． 1 B． 2 C． D． 2017
【答案】C
【解析】
【分析】
则，
则，故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的零点以及分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
4．【江西省南昌市2018届高三二模】已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
点睛:这个题目考查了导数的几何意义，本题中还涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
5．【宁夏银川一中2018届高三第三次模拟考试】已知函数，在其定义域上单调，则的值不可能的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：由其定义域上单调，明确且，进而即可作出判断. ]
详解：∵函数在其定义域上单调，又在上单调递减，
∴且
即且
∴
故选：D
点睛：本题考查对分段函数和函数单调性的理解掌握程度，若分段函数具有单调性关键点和难点都是在分段点处函数值的比较．
6．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（八）】已知函数，若，则的取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
点睛：(1)本题主要考查分段函数的计算，意在考查学生对分段函数的理解和掌握水平.(2)分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入求值，如果不能确定就要分类讨论.
7．【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】已知，若恰有两个根，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：根据f（x）的图象判断a的范围，用a表示出x1，x2，得出x1+x2关于a的函数，从而可得出x1+x2的取值范围．
详解：
作出f（x）的函数图象如图所示：
学 ]
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用.
8．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十）】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.
【详解】
【点睛】
本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．【福建省百校2018届下学期临考冲刺】设函数，若存在互不相等的4个实数，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
可知函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
若使函数有两个零点，必有，
解得，故选C.
点睛：本题主要考查函数与方程知识，解题的关键在于将问题转化为：已知方程有根（或函数有零点），求参数的取值范围的问题，解题时可采用：（1）参数分离法，先将参数分离出来，转化成求函数值域的问题加以解决；（2）数形结合，利用导数研究函数的增、减性质，画出简图，然后观察求解.
10．【四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试】设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：由有，直线与函数的图象有4个不同的交点。数形结合求出的范围。
详解：由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合。 ，综上，，选A.
点睛：本题主要考查函数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题。画出这两个函数的图象是解题的关键。
11．【湖北省宜昌市一中2018届高三考前适应性训练2】定义函数，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
点睛：本题考查分段函数的解析式和性质，以及排除法的应用，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.
12．【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（一）】已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
∴．
综上可得．
若存在实数，使得成立，
则，
即，
整理得，
解得．
∴实数的取值范围为． 学, , ,X,X,K]
故选B．
点睛：本题考查分段函数的值域的求法和函数的能成立问题，解题的关键一是如何根据函数的性质求得值域，二是正确理解题意，由题意得到关于实数的不等式，然后解不等式可得所求的范围．
13．【湖南省常德市第一中学2018届高三第一次水平考试】若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为 （ ）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
【答案】B
【解析】
【分析】
由知 函数是周期为2的函数，进而根据与函数的图象得到交点为8个.
【详解】
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性，函数的图象及利用图象判断函数零点个数，属于中档题.处理函数零点个数问题，可以转化为判断两个函数图象交点个数问题，在同一坐标系内分别画出图象，容易看出交点个数.
14．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟考试】已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为
则的取值范围为（ ） 学 ]
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析，将函数的大致图像画出来，可以判断出函数有四个零点时对应参数的范围，并且可以断定有两个正根，两个负根，以及两个负根和为定值，从而确定出其积的取值范围，两个正根可以解方程，之后用两根和来断定，最后根据题的条件，确定出其取值范围.
详解：根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像，
点睛：该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点由函数图像的对称性，对勾函数图像的走向，函数零点个数向向函数图像交点个数靠拢，总之要想最对改题目，必须将基础知识抓牢.
15．【福建省百校2018届下学期临考冲刺高三数学考试卷】已知函数，则函数的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：根据题目所给分段函数的解析式，画出函数图像，通过图像分析函数零点的个数。
详解：
点睛：本题主要考查了复合函数、分段函数零点的求法。通过换元法得到关于t的函数，再对t的取值情况进行分类讨论即可求解，本题属于综合型题目，难度较大。
