2019届二轮复习（理）不等式选讲学案（全国通用）

【母题原题1】【2018新课标1，理23】已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.

【母题原题2】【2017新课标1，理23】

已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

【母题原题3】【2016新课标1，理24】已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像;

(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.

【解析】(Ⅰ)f(x)=   .   ]

y=f(x)的图像如图所示.   

【绝对值不等式的解法与性质】

1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法

（1）若c>0，则|ax＋b|≤c⇔–c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤–c，然后根据a，b的取值求解即可；

（2）若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R．

2．|x–a|＋|x–b|≥c，|x–a|＋|x–b|≤c（c>0）型不等式的解法

3．|f（x）|>g（x），|f（x）|<g（x）（g（x）>0）型不等式的解法：

①|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<–g（x）；

②|f（x）|<g（x）⇔–g（x）<f（x）<g（x）．

【证明不等式的常见方法】

不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．

（1）如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；

（2）如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；（3）如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．

在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．

1．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知函数，关于的不等式的解集记为.

（1）求；

（2）已知，，求证：.

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

2．【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】已知函数

(1)解不等式.

(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.

点睛：（1）本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质.(2) 重要绝对值不等式：,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.

3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】若关于的不等式的解集为,记实数的最大值为.

(1)求的值；

(2)若正实数满足,求的最小值.

【解析】分析：（1）将问题转化为，只需求出的最

点睛：绝对值三角不等式和基本不等式都是求最值的常用方法，解题时要根据题意选择合适的方法进行求解，同时也要注意这两种方法的使用条件．

4．【河南省南阳市第一中学2018届高三第十八次考试】已知函数，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2），，求的取值范围.

【解析】分析：（1）当时，得，分类讨论，即可求解不等式的解集；

（2）当时，，即，分类讨论，转化为时，恒成立，利用二次函数的性质即可求解.

详解：（1）当时，，

①当时，，

令，即，此时无解；       

②当时，，

令/，即，所以；

③当时，，

点睛：点本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及不等式的恒成立问题的求解与转化，着重考查了分类讨论的数学思想方法和转化与化归思想方法的应用，试题综合性强，有一定的思维难度，属于中档试题.

5．【四川省梓潼中学校2018届高考模拟检测（二）】

已知函数，，不等式的解集为.

（1）求；

（2）证明：对于任意的，都有成立.

【解析】分析：（1）不等式，即，分类讨论，即可求解不等式的解集，得到集合；

（2）得要证成立，只需证，即证，

也就是证明成立，即证即证，再由绝对值的三角不等

点睛：本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中熟记含绝对值的不等式的求解方法和合理使用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.

6．【广东省阳春市第一中学2018届高三第九次月考】已知.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.

【解析】分析：(1)当时，不等式即，零点分段可得不等式的解集为.

 (2)原问题等价于关于的不等式恒成立，由绝对值三角不等式的性质可知，则，据此可得的取值范围是.

详解：(1)当时，由，得，

当时，由，得;   

当时，由，得;

当时，由，得;

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

7．【河北省衡水中学2018年高考押题(三）】已知（为常数）.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若的值域为，且，求实数的取值范围.

【解析】分析：（1）通过讨论的范围，求出各个区间上的的范围，取并集即可求解；

（2）根据绝对值的性质，求出的最大值，结合集合，得到关于的不等式组，即可求解．

详解：（1）由可得，即.（ ）

①当时，（ ）式可化为，解之得，所以；

②当时，（ ）式可化为，即，所以；

③当时，（ ）式可化为，解之得，所以.   . ]

综上知，实数的取值范围为.

（2）因为，所以，

由条件只需即，

解之得，即实数的取值范围是.

点睛：本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

8．【江西师大附中2018届高三年级测试（三模）】已知函数，其中为正实数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

所以存在，使得不等式成立.

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

9．【湖北省2018届高三5月冲刺】已知，，.若函数的最小值为2.

(1)求的值；

(2)证明：.

【解析】分析：(1)先根据绝对值三角不等式得的最小值为 ，再根据，，得结果.(2)

点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.

10．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】设对于任意实数，不等式恒成立.

（1）求的取值范围；

（2）当取最大值时，解关于的不等式.

【解析】分析：（1）设，可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，从而得的取值范围；

（2）不等式为，利用绝对值的定义分类去绝对值符号后，解不等式，最后求并集可得原不等式的解集．

详解：（1）设，则有，根据函数的单调性有.

点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为为含绝对值的不等式，分类求解．本题也可利用绝对值的性质求解，如第（1）小题中，第（2）小题由得，解之可得．

11．【峨眉山市第七教育发展联盟2018届高考适应性考试】已知函数.

(1)求不等式 的解集;     

(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.

【解析】分析：(1)绝对值不等式，讨论绝对值内的正负情况，确定的解集。

(2)通过分离参数，得到关于m的不等式在上有解或在上有解或在有解，解各不等式得到m的取值范围。   

详解：

(1)

当时,由解得:当时,由解得:

当时,由解得.

所以, 的解集为.

(2)不等式解集非空,即有解,

即在上有解或在上有解或在有解

则或或，

所以.

点睛：绝对值不等式是选考内容，主要涉及分类讨论的数学思想。讨论时，注意不等式成立的条件和去绝对值的范围，属于中档题。

12．【山东省潍坊市2018届高三第三次高考模拟考试】已知函数，不等式的解集.

（1）求；

（2）设，证明：.

所以要证，只需证

即证，

即证

即证

即证

因为，所以，所以成立，

所以原不等式成立.

点睛：本题主要考查了含绝对值不等式的求解以及分析证明不等式，对于绝对值不等式的求解，分类讨论去掉绝对值号是求解的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

13．【安徽省合肥市第一中学2018冲刺高考最后1卷】已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2），求的取值范围.

点睛：绝对值不等式的常见解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．   

14．【2018届四省名校高三第三次大联考】已知函数, .

（1）当时，解不等式；

（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

∴的值域为

又 在上单调递增，

∴的值域为，

要满足条件，必有，

∴，解得

∴实数的取值范围为.

点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等，考查了分类讨论思想，化归与转化思想，属于中档题。

15．【山西省运城市康杰中学2018届高三高考模拟（一）】已知函数.

（I）当时，求不等式的解集；

（II）如果对于任意实数，恒成立，求的取值范围.

点睛：求解含两个绝对值的不等式时，往往利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数对应的不等式组进行求解.