2019届二轮复习（理）专题41直线的倾斜角与斜率学案（全国通用）

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．

(2)直线的斜率

①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan  α；

②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．

2．直线方程的五种形式

3.线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

高频考点一　直线的倾斜角与斜率

例1、(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为        .

(2)如图，∵kAP＝＝1，

kBP＝＝－，

∴直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞).

答案　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)

【方法规律】(1)①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.

②正切函数在[0，π)不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围.

(2)第(2)问求解要注意两点：①斜率公式的正确计算；②数形结合写出斜率的范围，切莫错误想当然认为－≤k≤1.

【变式探究】 (1)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　　)

A.－1<k<    B.－1<k<

C.k>或k<－1    D.k>或k<－1

(2)直线l经过点A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是        .

答案　(1)D　(2)

高频考点二　求直线的方程

例2、根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.

解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.

设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，

从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.

故所求直线方程为y＝±(x＋4).

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，

又直线过点(－3，4)，

从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

【方法规律】根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.

【举一反三】 求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，

∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

∵l过点(4，1)，∴＋＝1，

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.

∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

高频考点三　直线方程的综合应用

例3、已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

解　方法一　设直线方程为＋＝1 (a>0，b>0)，

点P(3,2)代入得＋＝1≥2 ，得ab≥24，

从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.  

【变式探究】已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．

解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小．

【感悟提升】与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．

(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．

【变式探究】(1)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是．

(2)(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为．

答案　(1)5　(2)－

1. （2018年全国I卷理数）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=

A.     B. 3    C.     D. 4

【答案】B

【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，

从而得到，所以直线的倾斜角为或，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，

可以得出直线的方程为，

分别与两条渐近线和联立，

求得，

所以，故选B.

2. （2018年北京卷）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为          ；双曲线N的离心率为          ．

【答案】    (1).     (2). 2

3. （2018年全国I卷理数）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

【答案】(1) AM的方程为或.

(2)证明见解析.

【解析】

（1）由已知得，l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为或.

所以AM的方程为或.

.

所以，.

则.

从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.

综上， .

1.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为(   )

（A）    （B）     （C）        （D）1

【答案】C

【解析】设（不妨设），则

，故选C.

1.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ）

（A）或      （B） 或           （C）或         （D）或

【答案】D

【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即：.

又因为光线与圆相切， 所以， ,

整理： ，解得： ，或 ,故选D．

1．（2014·湖北卷）设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．

(1)当f(x)＝        (x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；

(2)当f(x)＝        (x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

【答案】(1)　(2)x(或填(1)k1；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)

(2)依题意，c＝，则＝，因为a>0， b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝x(x>0)．

2．（2014·江西卷）如图1­7所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．

(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．

因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，

则＝＝＝

·.

又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，

代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．

3．（2014·四川卷）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；

②当最小时，求点T的坐标．

【解析】解：(1)由已知可得

解得a2＝6，b2＝2，学 .

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

所以y1＋y2＝，y1y2＝，

x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为.

所以直线OM的斜率kOM＝－，

又直线OT的斜率kOT＝－，

所以点M在直线OT上，

因此OT平分线段PQ.

②由①可得，

|TF|＝，

|PQ|＝

＝

＝

＝.

所以＝＝

≥＝.

当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．