2019届二轮复习不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用学案（全国通用）（理）

专题1  不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用（理 ）

【三年高考精选】

1. 【2018年理新课标I卷】

2. 【2018年全国卷Ⅲ理】

3.【2018年理数全国卷II】

4.【2017课标1，理】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则 AB + DE 的最小值为

A. 16    B. 14    C. 12    D. 10. 

【答案】A

5.【2017课标II，理】

6．【2017课标3，理】

7．【2016高考新课标1理数】

8．【2016高考新课标2理数】

9．【2016高考新课标3理数】

【三年高考刨析】

【2019年高考命题预测】

预测2019年可能有一道选择或者填空出现，与集合结合考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，有可能与导数结合出一道解答题．    

【2019年一轮复习指引】

不等式是中数的主体内容之一, 是进一步习高等数的基础知识和重要工具, 因而是数高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数思想、数方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.因此，在2019年复习备考中，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与所有数知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．

【2019年高考考点定位

高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系．

考点一、不等式性质

典例1【2018届【衡水金卷】模拟试题】设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D  _X_X_ 

【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A错误；取a=2,b=3,小，则，

【备考知识梳理】

1．不等式的基本性质：（1）    （2）  （3），     （4）

2．不等式的运算性质：（１）加法法则：   

（２）减法法则：，（３）乘法法则：   

（４）除法法则：，（５）乘方法则：

（６）开方法则：

【规律方法技巧】

1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．

2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．

【考点针对训练】

1. 【湖南省衡阳市2018届第一次联考】若a、b、c为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是

A． ac 2<bc2    B．     C．     D． a2 >ab>b2

【答案】D

【解析】若c=0，A不成立，通过

2.已知下列四个关系：①；②；③， ；④，．其中正确的有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】时，①错误.时②错误.根据不等式的性质知③正确.根据指数函数的单调性可知④正确.故有两个正确.

【考点2】不等关系

典例2【江西省南昌市2018届模拟】已知，则

A．     B．   C．     D．

【答案】D

【备考知识梳理】

在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数中的不等式表示这些不等关系，建立数模型，利用数知识解决现实生活的不等关系.

【规律方法技巧】

区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用等式子表示，不等关系是通过不等式表现．

【考点针对训练】

1.若，则的大小关系为(　　)

A      B.     C.     D. 由的取值确定

【答案】C

【解析】假设P<Q，∵要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，

只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．

2. 【河南省郑州市2018届高三模拟】设，则的大小关系是（   ）

A．              B．             C．               D．

【答案】C

【解析】，

,故选C.

【考点3】一元二次不等式解法

典例3【江西省景德镇市2018届第二次联考】已知函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【备考知识梳理】

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.     

【规律方法技巧】

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；

2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.

【考点针对训练】

1.已知不等式的解集为,则不等式的解集为                 .

【答案】

【解析】根据题意可得，所以可化为，所以不等式的解集为．

2. 【江苏省苏北三市2018届三模】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是____．

【答案】 (或)

上所述：实数的取值范围是.

【考点4】基本不等式及应用

典例4【河南省信阳2018届模拟（二）】点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（    ）

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

【答案】A

【备考知识梳理】

1、   如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

推论：（）

2、   如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.   

推论：（，）；          

3、 

【规律方法技巧】

1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.

【考点针对训练】

1. 【山西省晋中市2019届高三8月月考】已知函数，若，，且，则的最小值为__________．

【答案】9

2. 【黑龙江省哈尔滨市2018届押题卷（二）】在中， 分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球面积的最小值为________________.

【答案】9

【解析】由题意得三棱锥的对棱分别相等，将三棱锥补充成长方体，则对角线长分别为，设长方体的长宽高分别为，则，∴，∵ ，∴，∴三棱锥的外接球面积的最小值为： 故选：D．

【应试技巧点拨】

1．使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

2．基本不等式及其变式中的条件要准确把握．

如()，()等．

3.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值．即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.

3.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)；第二关是求最值关，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题．

4.应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.   

5．对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．

1. 【湖南省长沙市2018届第三次模拟】若，则下列不等式成立的是

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】利用特值法排除，当时：，排除；，排除；

，排除，故选B.

 2. 【安徽省合肥市2018届三模】已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】利用排除法：时，与都不成立，可排除选项；时，不成立，可排除选项，故选A.

3. 【贵阳第一中2018届高考适应性】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】∵∴由∴∴综上，可得 .故选A．

4. 【北京市西城区2018届模拟考试】若，则下列不等式：①；②；③；④中正确的不等式有（    ）个.

A． 个    B． 个    C． 个    D． 个

【答案】C

 5．【河南省2018年一模】设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为　　

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】由题意，，可得，当时，

不等式等价于，当时，的最小值为，若要不等式恒成立，

则必须，因此，实数的取值范围为，故选

6．【2018届【衡水金卷】信息卷 （四）】设： ， ： ，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

7．【江西省南昌市2018届第二轮复习测试卷（三）】若正数满足，则的最大值为

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】因为，化简可得，左右两边同时除以xy得 ，求的最大值，即求 的最小值，所以 ，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以选A 

8．【天津市十二校2018届第二次联考】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，，且；再由，使成立，可得，，，令，则（当时，等号成立），所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为.

9．【上海市黄浦区2018届4月模拟】已知函数对任意恒有成立，则代数式的最小值是___________．

【答案】

 10． 【黑龙江省大庆2018届考前仿真模拟】对任意任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】任意x∈[0， ，y∈（0，+∞），不等式﹣2cos2x≥asinx﹣恒成立⇔≥asinx+2﹣2sin2x恒成立，令f（y）=，则asinx+2﹣2sin2x≤f（y）min，∵y＞0，∴f（y）=≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3．∴asinx+2﹣2sin2x≤3，即asinx﹣2sin2x≤1恒成立．∵x∈[0， ，∴sinx∈[0， ，当sinx=0时，对于任意实数a，不等式asinx﹣2sin2x≤1恒成立；当sinx＞0时，不等式asinx﹣2sin2x≤1化为a≤2sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤，再令g（t）=2t+（0＜t≤），则a≤g（t）min．由于g′（t）=2﹣＜0，∴g（t）=2t+在区间（0， 上单调递减，因此，g（t）min=g（）=3，∴a≤3．综上，a≤3．故选：A．

 11.【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知，给出下列四个结论：①②③④其中正确结论的序号是（    ）

A．①②   B．②③   C．②④   D．③④   

【答案】C

【解析】，因此选C.

12. 【贵州省遵义市第四中2016届高三第四次月考】已知直线在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （    ）

A.       B.     C.     D. 2

【答案】D

【解析】直线在两坐标轴上的截距之和为4，所以，即 ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 .

13. 【湖南省岳阳2018届高三第一次月考】如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（    ）

A. 2    B.     C.     D.

【答案】C

【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得

，即.当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.

14. 【陕西省黄陵中2017届考前模拟】两圆和恰有三条公切线，若， ，且，则的最小值为(    )

A.     B.     C.     D.

【答案】C

15. 【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值为（   ）

A. 0    B. 1    C.     D. 3

【答案】B

【解析】据已知不等式得，故，据均值不等式得，当且仅当，即时取得最大值，此时且，当时取得最大值1.

【一年原创真预测】

1. 设函数，若是两个不相等的正数且 ，则下列关系式中正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【入选理由】这个题目考查的是比较对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小；或者利用不等式放缩来比较大小.本题是利用函数的单调性来比较大小，难度不大，故选此题.     

2. 已知实数，且由的最大值是_________

【答案】

【解析】由化简得，又实数，图形为圆，如图:

，可得，，则，由几何意义得，则，为求最大值则当过点或点时取最小值，可得，所以的最大值是

【入选理由】考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度，故选此题.

3. 已知，且，则的最小值等于_______．

【答案】

【入选理由】本题考查本题考查基本不等式的运用，求最值等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力．本题是基本不等式的一个灵活应用，难度不大，故选此题.

4. 已知函数，若关于的不等式在[0，1 上有解，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】由 在[0，1 上有解，可得，即．令 ，则，因为，所以，则当，即时，，即，故实数的取值范围是 ．故答案为：

【入选理由】本题考查一元二次不等式解集，不等式恒成立或存在型问题等基础知识，意在考查运用等价转化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是一元二次不等式解集与不等式恒成立或存在型问题有机结合在一起，难度不大，故选此题.