2019届二轮复习基本不等式及其应用学案（全国通用）

1.了解基本不等式的证明过程。

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

热点题型一    利用基本不等式求最值

例1、（2018年天津卷）已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

【变式探究】 (1)若x<，则y＝x＋的最大值为________。

(2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x的最大值为________。

【解析】(1)y＝x＋＝x－＋＋

＝－＋

≤－2＋＝－，

当且仅当－x＝，即x＝－时等号成立。

(2)∵x≥0，y≥0，x2＋＝1，

∴x＝＝

≤×＝×＝，

当且仅当x＝，y＝时，x取得最大值。

【提分秘籍】

利用基本不等式求最值的常用技巧

(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式。

(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。

(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致。  学  ……

提醒：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解。

【举一反三】

已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则＋的最小值是________。

【答案】7＋4

热点题型二    基本不等式的实际应用

例2、某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－( 为常数)。如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件。已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。

(1)将该厂家2015年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2015年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

【提分秘籍】

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。

【举一反三】

某化工企业2014年底投入100万元，购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)。

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需要重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。

【解析】(1)由题意得，

y＝，

即y＝x＋＋1.5(x∈N )。

(2)由基本不等式得：

y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，

当且仅当x＝，即x＝10时取等号。

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备。  学 …… 

热点题型三  基本不等式的综合应用 

例3．(1)若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________。

(2)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9   B．12

C．18  D．24

【提分秘籍】

基本不等式综合问题的解题策略

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解。

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解。

(3)求参数的值域范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围。

【举一反三】

已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)

A．9  B．8

C．4  D．2

【解析】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心为C(0,1)，

学  

1.（2018年天津卷）已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

【解析】由可知，

且：，因为对于任意x，恒成立，

结合均值不等式的结论可得：.

当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

1.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是  _ _ . 

（A）                    （B）

（C）                    （D）

【答案】B

【解析】因为，且，所以

  ，所以选B.  学 ……   

2.【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

（A） （B） （C） （D）  

【答案】A

1.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）

（A）  （B）6  （C）10   （D）17

【答案】B

【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.

2.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（   ）

（A）4          （B）9          （C）10         （D）12

【答案】C

【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.

1.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（    ）

（A）16       （B）18        （C）25         （D）

【答案】B

2.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（   ）

A．            B．            C．            D．

【答案】C

【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．  学……  

  3．（2014·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使 2a＋b 最大时，－＋的最小值为________．

【答案】－2　

4．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．

【答案】2　

【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.

5．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)

A．80元        B．120元 

C．160元        D．240元

【答案】C

【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．故选C.

6．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．    . 

【答案】7＋4

【解析】由log4(3a＋4b)＝log2得3a＋4b＝ab，

且a＞0，b＞0，∴＋＝1，

∴a＋b＝(a＋b)·＝7＋≥

7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．

5．（2014·四川卷）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A．2  B．3  C.  D.

【答案】B　  

＝3，当且仅当9 y1 ＝8 y2 且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝，而>3，故选B.

 6．(2013年高考山东卷)设正实数x，y， 满足x2－3xy＋4y2－ ＝0，则当取得最小值时，x＋2y－ 的最大值为(　　)

A．0  B.  C．2  D.

【答案】C

【解析】含三个参数x，y， ，消元，利用基本不等式及配方法求最值．

 ＝x2－3xy＋4y2(x，y， ∈R＋)，

∴＝＝＋－3≥2 －3＝1.

当且仅当＝，即x＝2y时“＝”成立，此时

 ＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，

∴x＋2y－ ＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2 (y－1)2＋2.

∴当y＝1时，x＋2y－ 取最大值2.  学 …… 

7．（2013·重庆卷）(－6≤a≤3)的最大值为(　　)

A．9  B.  C．3  D.

【答案】B