2019届二轮复习第八章第6节　空间向量及其运算学案（全国通用）

第6节　空间向量及其运算
最新考纲　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

知 识 梳 理
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y， }，使得p＝xa＋yb＋ c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
[常用结论与微点提醒]
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋ (其中x＋y＋ ＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面.(　　)
(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.(　　)
(4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角.(　　)
解析　对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)
A.a，a＋b，a－b B.b，a＋b，a－b
C.c，a＋b，a－b D.a＋b，a－b，a＋2b
解析　若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底.
答案　C
3.如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ (用a，b，c表示).
解析　＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋×(＋)＝a＋b＋c.
答案　a＋b＋c
4.已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝ .
解析　a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，
∴|b|＝＝2.
答案　2
5.已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是 .
解析　a＋b＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)，
a－b＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cos2θ)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是.
答案　

考点一　空间向量的线性运算
【例1】 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)＋.

解　(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋
＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝＋
＝a＋b＋c.
规律方法　1.选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.
2.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.
提醒　空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.
【训练1】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.
(1)化简：－－＝ .
(2)用，，表示，则＝ .
解析　(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝.
(2)因为＝＝(＋)，
所以＝＋＝(＋)＋
＝＋＋.
答案　(1)　(2)＋＋
考点二　共线、共面向量定理的应用
【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明　(1)连接BG，则＝＋
＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.
(2)因为＝－
＝－＝(－)＝，
因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
规律方法　1.证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).
2.证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝x＋y＋ (x＋y＋ ＝1)；
(3)∥(或∥或∥).
【训练2】 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋).
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解　(1)由已知＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－).
即＝＋＝－－，
∴，，共面.
(2)由(1)知，，共面且过同一点M.
∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.
考点三　空间向量数量积及应用(典例迁移)
【例3】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；(2)·；
解　设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)·＝(＋＋)·(－)
＝·(－)
＝·(－)
＝·(c－a)
＝
＝.
【迁移探究1】 本例的条件不变，求证：EG⊥AB.
证明　由例3知＝(＋－)＝(b＋c－a)，
所以·＝(a·b＋a·c－a2)
＝＝0.
故⊥，即EG⊥AB.
【迁移探究2】 本例的条件不变，求EG的长.
解　由例3知＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝，即EG的长为.
【迁移探究3】 本例的条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
解　由例3知＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
规律方法　1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.
(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝.
【训练3】 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值.
(1)解　记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴|1|＝，即AC1的长为.
(2)证明　∵＝a＋b＋c，＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c
＝|b c|cos 60°－|a c|cos 60°＝0.
∴⊥，∴AC1⊥BD.
(3)解　＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝＝.
∴AC与BD1夹角的余弦值为.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A.－2 B.－ C. D.2
解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
答案　D
2.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.垂直 B.平行
C.异面 D.相交但不垂直
解析　由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD.
答案　B
3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
解析　＝1＋＝1＋(－)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
答案　A
4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
答案　C
5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　因为＝－，
所以·＝·－·
＝| |cos〈，〉－| |cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝
＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
答案　A
二、填空题
6.(2018·郑州调研)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于 .
解析　由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，
∴解得λ＝－9.
答案　－9
7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为 .
解析　||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2，
∴||＝，∴EF的长为.
答案　
8.(2018·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋ ，则x，y， 的值分别为 .
解析　∵＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋，
∴x＝，y＝， ＝.
答案　，，

三、解答题
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
解　(1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，
∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O－xy .
(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
(1)解　E(a，x，0)，F(a－x，a，0).
(2)证明　∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥，
∴A1F⊥C1E.
(3)证明　∵A1，E，F，C1四点共面，
∴，，共面.
选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)
＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
∴解得λ1＝，λ2＝1.
于是＝＋.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　①正确；②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确；④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确.
答案　B
12.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.
则VA与平面PMN的位置关系是 .
解析　如图，设＝a，＝b，
＝c，
则＝a＋c－b，
由题意知＝b－c，
＝－
＝a－b＋c.
因此＝＋，
∴，，共面.
又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.
答案　平行
13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点.
(1)试用a，b，c表示；
(2)求证：MN∥平面ABB1A1.
(1)解　∵＝－＝c－a，
∴＝＝(c－a).
同理，＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－(c－a)
＝(b＋a)＝a＋b.
(2)证明　∵＝＋＝a＋b，
∴＝，即MN∥AB1，
∵AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，
∴MN∥平面ABB1A1.