2019届二轮复习解题技巧直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题学案（全国通用）


专题51 直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题
考纲要求:
1． 掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．　
2.了解圆锥曲线的简单应用．
3.理解数形结合的思想．
基础知识回顾:
1．直线与圆锥曲线的位置关系学
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
由消元．(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0.
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
a． 当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：
|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝＝ |y1－y2|
(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)．
应用举例:
类型一 椭圆的焦点三角形
【例1】设椭圆C： ，，分别为左、右焦点，B为短轴的一个端点，且，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为1，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆上一点，，求点P的坐标.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
(1)由题意，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； (2)设点，由，求得，代入椭圆方程求得的值，即可得到答案.

(2)设点，由
得，代入椭圆方程： 得
所以
所以点的坐标为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程和简单的几何性质，列出相应的方程，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
【例2】【宁夏银川一中2018届高三第四次模拟】设，分别是椭圆C：的左、右焦点，过且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．
Ⅰ求的周长；
Ⅱ若存在直线l，使得直线，AB，与直线分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．

【答案】（1）（2）．
【解析】
【分析】
Ⅰ的周长为；
Ⅱ由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为，因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以，联立与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，即可得出结论．
设 ，，显然，，
所以直线的方程为
故直线与直线交点P的纵坐标为
同理，点R的纵坐标为
因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以
即
整理得
联立与椭圆方程，消去y得
所以，
代入化简得
解得
经检验，直线l的方程为．
【点睛】
本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
类型二　椭圆的焦点弦
【例3】【宁夏银川一中2018届高三第四次模拟考试】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过点作斜率为k（k>0）的直线与椭圆交于，不同两点，线段的中垂线为，记的纵截距为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义得到的值，再根据离心率得到的值，从而计算出即得椭圆方程．
（2）设，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理算出的中点坐标（用表示），再计算中垂线的直线方程，从而得到，而由直线与椭圆相交可得，最后利用导数求的取值范围．
【详解】
（1）因为，所以，所以 ，
因为，所以 ，
所以 ，所以椭圆的标准方程为．

设，的中点为，则，，
所以：，即，
化简得：，
令，得，，
，当时，恒成立， 所以在上为增函数，所以．
【点睛】
求椭圆的标准方程，可以用定义法或待定系数法确定基本量．直线与椭圆位置关系中的对称问题，需要联立方程组并消元，再用韦达定理把要求解的目标表示成关于斜率的代数式，最后再利用导数或不等式等工具讨论该代数式的性质．
【例4】【湖北省宜昌市一中2018届高三考前适应性训练】已知椭圆的一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点的动直线（轴除外）与椭圆相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) .
(2) 在轴上存在定点，使得为定值.
【解析】分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆的长轴为直径的圆与直线
相切，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；(2) 设直线联立，得. 假设轴上存在定点，由韦达定理，利用平面向量数量积公式可得，要使为定值，则的值与无关，所以，从而可得结果.

假设轴上存在定点，使得为定值。
所以



要使为定值，则的值与无关，
所以
解得，
此时为定值，定点为
②当直线的斜率不存在时，， 也成立
所以，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值
点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
7．椭圆中几个常用的结论：
(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝，r2＝.
①＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
②＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
(3)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝＝|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－.
类型三 抛物线焦点弦问题
【例5】【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三下学期考前押题卷（一）】已知抛物线的焦点 ，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程以及的值；
（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值.
【答案】（1）y2=4x，2（2）
【解析】
【分析】
（1）依题意，，即可求的抛物线方程，再根据抛物线的定义，直接可以写出的值.
（2）设l：x=my+1，M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得关于y的一元二次方程，由，得，再根据，求得m的值，即可求得的值.

（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），
联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．
所以，① 且，
又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，
代入①得，消去y2得，
B（﹣1，0），则，
则



（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16，
当16m4+40m2+16=40，解得，故．
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.
【例6】【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求该抛物线的方程；
(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点 学+ + ]
【解析】分析：（1）根据抛物线性质求出p，得出抛物线方程；（2）设MD斜率为k，联立方程组，求出D，E的坐标，得出直线DE的方程，从而得出结论．

(2)由(1)可得点，
设直线的方程为: ，
联立，得，
设，则，

同理可得 ,
所以直线的方程为

化简的 .
直线过定点.
点睛：（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.(2) 定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式
，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.
类型四 双曲线的焦点弦与焦点三角形
【例7】过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是(　　)
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点分别在左、右两支上
解析：直线l的方程为y＝(x＋)，代入C：－＝1整理，得23x2－8x－160＝0，Δ＝(－8)2＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．
【例8】设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4　 B．8
C．24 D．48

点评：双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．
方法、规律归纳:
1.以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，注意以下公式的灵活运用：
①|PF1|＋|PF2|＝2a；
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1 PF2|·cos θ；
③S△PF1F2＝|PF1 PF2|·sin θ.
2．抛物线的几个常用结论
(1)焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r＝.
①y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋；
②y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋；
③x2＝2py(p＞0)，r＝y0＋；
④x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋.
(2)焦点弦：若AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，＝l.则：
①x1x2＝；
②y1y2＝－p2；
③弦长l＝x1＋x2＋p，因x1＋x2≥2＝p，故当x1＝x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)． 学 ]
实战演练:
1．【福建省泉州市2018届高三第二次（5月）质量检查】椭圆的左焦点为，过且斜率为的直线交于两点（在轴上方），线段的中点为，线段的中垂线与轴交于点.若的面积是的面积的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：首先根据题的条件，利用的面积是的面积的2倍，结合是线段的中点，从而求得，再根据直线的斜率，确定出直线的倾斜角，根据三角有关知识，可以设出
，将两个点的坐标代入椭圆方程，再结合椭圆中的关系，最后求得椭圆的离心率，求得结果.
点睛：该题考查的是有关椭圆离心率的求解问题，在解题的过程中，注意对题的条件的有效挖掘和利用，尤其是对的推导至关重要，这样才可以将点的坐标写的较为简单，代入椭圆方程，化简求解，注意结合椭圆中的关系，求得结果.
2．【辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试】已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.
详解：

如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则
，，，又，，
，，又，故选A.
点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.
3．【四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2019届高三第一次调研考试】已知、是椭圆：
的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得，结合能够得到的值.
【详解】
是椭圆的两个焦点，
为椭圆上一点，可得，
，
，
，
，故选C.
方法二：利用椭圆性质可得
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义、椭圆的方程、椭圆的几何性质以及平面向量垂直的性质、三角形面积公式的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
4．【四川省成都市第七中学2018-2019高中毕业班零诊模拟】已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】C
【解析】分析：由已知得，，结合能得到的值.

点睛：本题考查椭圆的定义，基本性质和平面向量的知识. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
5．【百校联盟2018届TOP20一月联考（全国Ⅰ卷）】根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为36万千米，月球轨道上点与椭圆两焦点构成的三角形面积约为 (万千米)2， ，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．【四川省成都市第七中学2018届高考模拟】双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：设渐近线的倾斜角为，则，因为，所以直线的倾斜角为，得，求得的方程，联立方程组，求得，在利用三角形的面积和双曲线的离心率，联立方程组，即可求解的值，得到双曲线的方程.
详解：由点所在的渐近线为，设渐近线的倾斜角为，则，
因为，所以直线的倾斜角为，，
则与联立方程组，解得，
所以，
因为双曲线的离心率为，所以，
所以与联立方程，解得，
所以双曲线的方程为，故选C.
点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时涉及到两直线的交点和三角形的面积的应用，解答中熟练运用双曲线的几何性质，准确作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与预算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
7．【百校联盟TOP202018届高三四月联考全国一卷】已知点是双曲线：的左，右焦点，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若的面积为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析:利用双曲线定义及勾股定理布列方程，由面积值，即可求出的值，进而求出双曲线的渐近线方程.
点睛：本题考查了双曲线的定义及简单的几何性质，本题解题的关键是利用，的关系整体代换得到的等量关系.
8．【江西省临川二中、新余四中2018届高三1月联合考试】已知双曲线： 的离心率为，左右焦点分别为， ，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
学 ]
所以.
所以，所以为等腰三角形.
边上的高为.
的面积为.
故选B.
9．【安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试】已知双曲线的右焦点为， 为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】曲线右焦点为 ， 周长
要使周长最小，只需 最小，如图：

当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=
故选B
点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.
10．双曲a>0,b>0),过焦点F1的直线交双曲线的一支上的弦长|AB|=m,另一焦点为F2,则△ABF2的周长为(　　)
A． 4a B． 4a-m C． 4a+2m D． 4a-2m
【答案】C

点睛：一般地，双曲线的左右焦点为，点为双曲线上的动点，则
.
11．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知动点到定直线：的距离比到定点的距离大2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与曲线交于，两点，使得为定值.如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）利用抛物线定义即可求得抛物线方程；
（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m＞0），直线l：x=ty+m，有，y2﹣8ty﹣8m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理弦长公式，化简求解即可．
设，，有，，
，，
，
据题意，为定值，则，
于是，则有解得，
故当时，为定值，所以.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
12．如右图所示，直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
【答案】(1) (3,2)或(3，－2)．
(2) 4
【解析】
【分析】
（1）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据定义及|AF|＝4可得，再代入抛物线方程可得，于是可得点A的坐标．（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况分别求出弦长|AB|，进而可得|AB|≥4，于是得到所求的最小值．

（1）由抛物线的定义可知，．
∵|AF|＝4，
∴，
∴
∴．
∴点A的坐标为或．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y，整理得，
因为直线与抛物线相交于A，B两点，
所以k≠0.
设方程的两根为x1，x2，则，
由抛物线的定义可知，．
②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为x＝1，与抛物线相交于点A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.
综上可得|AB|≥4，
所以线段AB的长的最小值为4．
【点睛】
本题考查抛物线定义的应用，利用定义求抛物线的过焦点的弦长可避免较为复杂的运算，直接根据根与系数的关系求解即可．另外，在设直线方程时要根据题意对斜率是否存在进行讨论．
13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5.
(1)求抛物线的方程；
(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．
【答案】（1）y2＝4x.（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程.（2）设直线l：y＝k(x－4)(k≠0)，A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，即可证得以AB为直径的圆必过坐标原点．

当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)(k≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(4＋8k2)x＋16k2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝16.
y1y2＝k2(x1－4)(x2－4)＝k2[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝k2＝k2＝－16，
∴x1x2＋y1y2＝0.
又·＝x1x2＋y1y2＝0，∴OA⊥OB．
∴以AB为直径的圆必过原点．
综上可知，以AB为直径的圆必过原点．
【点睛】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线与抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，将以AB为直径的圆过原点转化为向量的数量积等于零即可，属于中档题．
14．【广东省佛山市南海区南海中学2018届高三考前七校联合体高考冲刺交流】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离和它到定直线的距离比为,记动点的轨迹为.
(Ⅰ) 求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于，两点，当的面积为1时，求.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【分析】
设，则，化简整理即可得到的方程
依题意当轴不合题意，故设直线：，代入椭圆方程，利用韦达定理和点到线的距离计算三角形面积，可计算出结果
【详解】
(Ⅰ)设，则，
两边平方整理得的方程为

整理得，即（满足），
所以.
【点睛】
本题主要考查了轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的综合问题，在求三角形面积时方法较多，一定要根据题意采用较为简单的计算方法，注意弦长公式的运用
15．【黑龙江省2018届高三普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（五）】已知椭圆：的右焦点为，过作互相垂直的两条直线分别与相交于，和，四点.
（1）四边形能否成为平行四边形，请说明理由；
（2）求的最小值.
【答案】（1）见解析.
（2）.
【解析】
【分析】
（1）若为平行四边形，则该四边形为菱形，因此对角线的两个顶点的纵坐标互为相反数，因此两条对角线垂直于轴，这不可能.
（2）设，直线，联立直线方程和椭圆方程并消元，再利用韦达定理把表示成的函数，利用换元法可求其最小值.
【详解】
设点.

（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为（），
由消去得，，
∴，，
∴，同理得，.
∴，
令，则，
当直线的斜率不存在时，，，
∴，
当直线的斜率为零时，，，
∴.
∵，∴的最小值为.
【点睛】
圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.