2019届二轮复习解题技巧圆锥曲线中必考的双曲线问题学案（全国通用）

考纲要求:

1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．　2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．　3.理解数形结合的思想．

基础知识回顾:

一、双曲线的标准方程和几何性质

或   或  坐标轴  坐标轴  原点  原点                               

二、双曲线的定义:

   平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.

    集合P＝{M |MF1|－|MF2 ＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}．

  (1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a=c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．

应用举例:

类型一、利用定义解决焦点三角形问题

【例1】椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（   ）

A． 4    B． 2    C． 1    D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆与双曲线定义解得再根据解三角形得面积.

【点睛】

本题考查椭圆与双曲线定义以及解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.

【例2】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知O是坐标原点，双曲线与椭圆的一个交点为P，点，则的面积为(      )

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由椭圆与双曲线的定义可得 ， = ，由标准方程可得=，结合余弦定理、勾股定理以及椭圆的对称性可得结果.

由椭圆与双曲线的标准方程方程=，

所以与重合，由余弦定理得到

，

故 ，

则的面积为， 故答案为D.

【点睛】

本题主要考查利用椭圆与双曲线的定义、简单性质求标准方程，属于中档题.求解与椭圆、双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

【例3】【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】分析：根据题意，由双曲线的标准方程可得a的值，设的内切圆半径为r，由直角三角形的性质分析可得，由双曲线的几何性质分析，由图形的对称性知2r-4=0，即可得答案.

详解：根据题意，双曲线，其中，

点睛：本题考查了双曲线的几何性质、双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆公式.

类型二、求渐近线方程

1、利用离心率求渐近线方程

【例4】【山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测】已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据离心率e=，由a,b,c的关系得到，进而得到渐近线方程.

【点睛】

这个题目考查的是双曲线的几何意义，已知离心率得到a，b，c的关系式，进而得到渐近线方程.

2、利用几何性质求渐近线方程

【例5】【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟考试】已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.

方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.

3、利用双曲线方程求渐近线方程

【例6】【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试】双曲线的渐近线为（     ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

令双曲线方程右侧为零，即可求出渐近线方程.也可以根据双曲线的定义，确定，即可求出渐近线方程.

【点睛】

本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，考查基本知识和基本计算能力.

类型三、求离心率的值或范围．

1、利用离心率定义求离心率

【例7】【清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试（一卷）】已知，是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（    ）学, , ]

A．     B．     C．     D． 2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据双曲线的定义，用a表示出，结合勾股定理和离心率的公式即可求得离心率。

【详解】

根据题意，做出图像如下图所示

因为 ，

设

由双曲线定义可知，即

在Rt△MF2F1中，由勾股定理可知

，即

联立方程得

化简得

所以选A

【点睛】

本题考查了双曲线定义及性质的简单应用，离心率的简单求法，属于基础题。

2、利用渐近线方程求离心率 学   ]

【例8】【河北省唐山市2018-2019学年高三上学期第一次摸底考试】双曲线的渐近线方程为，则的离心率为

A． 2    B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由双曲线的方程的渐近线方程，求得，再由离心率的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，双曲线的渐近线方程为，

即，所以双曲线的离心率为，故选C.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的几何性质，其中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

类型四、求双曲线的方程

1. 利用双曲线的定义求其方程

【例9】【2017届上海市徐汇区高三下学期二模】过椭圆右焦点的圆与圆外切，则该圆直径的端点的轨迹是（    ）

A． 一条射线    B． 两条射线    C． 双曲线的一支    D． 抛物线

【答案】C

【解析】根据题意， ，所以焦点坐标，设过点的圆的圆心为,半径为，连结，如图：

因为圆与圆外切，所以，因为,所以，所以

,所以点在以为焦点的双曲线的右支上，故选

点睛：本题主要考查的是点轨迹问题，属于中等难度题。在判断点的轨迹时结合图像去寻找关系式。利用两个圆外切，圆心距等于两个半径之和，根据中位线定理，即可得到，结合双曲线的定义，所以点是双曲线的一支。

2.利用渐近线方程求双曲线方程

【例10】【湖南省长沙市长郡中学2017届高三下学期临考冲刺训练】已知双曲线

的左、右焦点分别为，两条渐近线分别为，过作于点，过作于点为原点，若是边长为的等边三角形，则双曲线的方程为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

方法、规律归纳:

1．求双曲线离心率的值

（1）直接求出，求解：已知标准方程或a，c易求时，可利用离心率公式e＝求解；

（2）变用公式，整体求：如利用e＝＝＝，e＝＝；

2．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是e2＝＝＝1＋2，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即＝.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解．

实战演练:

1．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（七）】若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则该双曲线方程为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先确定椭圆的焦点和顶点，然后求解双曲线的方程即可.

【点睛】

求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.

2．【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求出双曲线的渐近线方程．与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可．

【详解】

双曲线的一条渐近线不妨设为： ，则： ，可得： 
一条渐近线截椭圆所得弦长为，
可得：，可得 ，
解得 ．
故选：B．

【点睛】

本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属中档题.

3．【河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练】已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．

4．【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试】在双曲线中，称离心率等于的双曲线为黄金双曲线，则下列双曲线中，是黄金双曲线的为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出每一个选项双曲线的离心率，再判断.

【点睛】

(1)本题主要考查双曲线的离心率的计算和双曲线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.（2）计算本题时，可以直接计算离心率e,也可以计算,看是否等于

5．【宁夏银川市唐徕回民中学2018届高三下学期第四次模拟考】已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（     ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

【详解】

分析：因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以可得p与c之间的关系，

因为轴，则点A的坐标可以由抛物线求出，将其代入双曲线方程，

再由a、b、c之间的关系，可求出离心率，由离心率公式可得，即斜率的值，由斜率求出倾斜角的范围.

详解：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：，

因为，代入上式可得：，

化简得：，两边同时除以得：，

解得或（舍），设渐近线斜率为k，

由，解得，所以倾斜角应大于，

所以区间可能是，

故选B.

点睛：本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，由焦点与公共点建立系数之间的联系，渐近线斜率与离心率有关，所以由系数求出离心率并求得斜率，与特殊倾斜角的斜率作对比，求出倾斜角取值范围.

6．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(一)】当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是(    )

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得6﹣2m＞0，即有m＜3，由c2=m2+8+6﹣2m=（m﹣1）2+13，可得m=1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．

【点睛】   ]

本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，考查了二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．

7．【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（    ）

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

【答案】B

【解析】

分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M到直线的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．

∴双曲线的方程为，

∴双曲线的焦点为．

又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，

∴，

∴抛物线的方程为，焦点坐标为．如图，

设点M到直线的距离为，到直线的距离为，则，

∴．

结合图形可得当三点共线时，最小，且最小值为点F到直线的距离．

故选B．

点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：

（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．

8．【普通高等学校招生全国统一考试2018届高三下学期第二次调研考试】在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是

A．     B．     C．     D．

【答案】C

9．【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（    ）

A． 虚轴长为    B． 焦距为

C． 离心率为    D． 渐近线方程为

【答案】D

【解析】

分析：根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.

解析：根据题意，依次分析选项：

对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；

对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；

对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为

，则C错误；

对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.

故选：D.

点睛：本题考查双曲线的标准方程，注意有双曲线的标准方程a、b的值.

10．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线的实轴长为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：由题意双曲线的离心率为，得，把点，代入双曲线的方程，解得，即可得到答案.

点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

11．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】已知双曲线，若过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】分析：求得双曲线的渐近线方程，由题意可得，再由离心率公式和 的关系，即可得到所求范围．

点睛：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．

12．【江西省抚州市临川区第一中学2018届高三全真模拟（最后一模）】已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（   ）

A． 直线    B． 圆    C． 椭圆    D． 双曲线

【答案】D

【解析】分析：根据三角形中位线性质以及中垂线性质得,再根据双曲线定义得结果.

详解：因为N为中点，O为中点，所以

因为P在线段的中垂线上，所以

因此，即点的轨迹是双曲线，   

选D.

点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.

13．【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，，则（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：先利用双曲线的定义求出，再利用余弦定理求出，再利用双曲线的定义判定为等边三角形，利用分割法和三角形的面积公式进行求解．

因为，

且， 学, ,  ,X,X,K]

所以,

又，

所以为等边三角形，

则

．

点睛：处理椭圆或双曲线上的点到焦点的距离时，往往利用椭圆或双曲线的定义合理转化，如本题中两次利用双曲线的定义，第一次是求得，第二次是结合、判定三角形的形状．

14．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷】若双曲线的左、右焦点分别为 是右支上的一点，与轴交于点,的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是（     ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】分析：已知可得，故要求离心率只需求。设的内切圆在边上的切点分别为M、N。由内切圆的切线长线段可得。由双曲线的对称性可得。由双曲线的定义可得，根据以上结论可得。进而可求离心率。

点睛：求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式。解题过程注意的关系。

（1）直接根据题意建立的等式求解； 学   ]

（2）借助平面几何关系建立的等式求解；

（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式求解；

（4）运用数形结合建立的等式求解；

15．【河南省南阳市第一中学2018届高三第十八次考试】已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，交轴于点，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】分析：设，表示出渐近线方程，求出和，建立a， b，c之间的关系。

令x=0，得，令y=0得

据此有

恒成立，则恒成立，

，则即

可得

故选B.

点睛：本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的综合应用，难度较大。