2019届二轮复习空间角的求解学案（全国通用）

考情速递

1真题感悟

真题回放学  ]

1．（2018•新课标Ⅱ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】：C

【解析】：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为 轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），

设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ===，

sinθ==，∴tanθ=．

∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．故选：C．

2热点题型

题型一：异面直线所成角

例1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值． 学   ]

【答案】：C

题型二：求直线与平面所成的 角

例2．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；

（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．

=（﹣2，2，0），设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1

则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），

则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面MPA的法向量为=（x，y， ），

则=（0，﹣2，﹣2），则•=﹣2y﹣2 =0，•=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0，令 =1，则y=﹣，x=，即=（，﹣，1），

∵二面角M﹣PA﹣C为30°，∴cos30°=|=，即=，解得λ=或λ=3（舍），则平面MPA的法向量=（2，﹣，1），

=（0，2，﹣2），PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．

题型三.求二面角  , ,k ]

例3（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可．

（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可． 学      

（2）∵△ABC的面积为定值，

∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大，

此时M为圆弧的中点，

建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图

∵正方形ABCD的边长为2，

∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），

则平面MCD的法向量=（1，0，0），

设平面MAB的法向量为=（x，y， ）

则=（0，2，0），=（﹣2，1，1），

由•=2y=0，•=﹣2x+y+ =0，

令x=1，

则y=0， =2，即=（1，0，2），

则cos＜，＞===，

则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα==．

变式训练4

（2018•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；

（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．

（II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：

则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），

∴=（﹣2，1，0），=（0，﹣2，1），

（III）证明：F（0，0，2），（2，0，1），∴=（2，0，﹣1），

∴•=2+0﹣4=﹣2≠0，

∴与不垂直，

∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD，

∴FG与平面BCD相交．

3．新题预测

1.在三棱锥P﹣ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P﹣BC﹣A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】：A

2.在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形，B1C1=2AA1=2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】：D 学  ]

【解析】：取B1C1的中点D，连结AD、BD，

∵AA1⊥平面AB1C1，AA1∥BB1，

∴BB1⊥平面AB1C1，∴BB1⊥AD，

又∵△AB1C1是等边三角形，∴B1C1⊥AD，

又B1C1∩BB1=B1，∴AD⊥平面B1C1CB，

∴∠ABD是AB与平面B1C1CB所成角，

∵△AB1C1为等边三角形，B1C1=2AA1=2，

∴AD=，BD=，∴tan．

故直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为．

故选：D．

专项训练题

1.（2018•东莞市模拟）如图，圆锥的底面直径AB=2，高，D为底面圆周上的一点，∠AOD=120°，则空间中两条直线AD与BC所成的角为（　　）

A．30° B．60° C．75° D．90°

【答案】：B

设空间中两条直线AD与BC所成的角为θ，

∴cosθ===，

∴θ=60°，

∴空间中两条直线AD与BC所成的角为60°．

故选：B．

2.（2018•城中区校级模拟）我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，EF=8尺，AB，CD间的距离为3尺，CD，EF间的距离为7尺，则异面直线DF与AB所成的角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】：B

【解析】：如图，五面体EF﹣ABCD中，四边形ABEF，ABCD，EFCD均为等腰梯形，EF∥AB∥CD，△ADE，△BCF均为直角三角形，

AD⊥DE，BC⊥CF，CD=10，AD==，DE=CF==5，

∴=，

解得sin∠DCF=，∴cos∠DCF=，

DF==，

∵AB∥CD，∴∠CDF是异面直线DF与AB所成的角，

∵cos∠CDF===，

∴cos∠CDF==，

∴异面直线DF与AB所成的角的正弦值为．

故选：B．

3.（2018•台州一模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时，线段PD'长度的最小值为　　．

【答案】：；

4. （2018•烟台一模）如图，梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD．

（1）求证：平面AFC⊥平面BDFE；

（2）若AB=2CD=2，BE=EF=2，求BF与平面DFC所成角的正弦值．

以O为原点，向量的方向分别为x轴，y轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，﹣1，0），F（0，0，2），C（﹣1，0，0），∴=（0，1，2），=（1，﹣1，0），=（0，﹣2，2），

设平面DFC的一个法向量为=（x，y， ），则有，即，

不妨设 =1，得x=y=﹣2．即=（﹣2，﹣2，1），

于是cos＜，＞===．

设BF与平面DFC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．

∴BF与平面DFC所成角的正弦值为．