2019届二轮复习考前增分六大题--必明破解策略学案（全国通用）




一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名

授课提示：对应学生用书第93页

策略指导
思维流程
三角函数类解答题是高考的热点，其起点低、位置前，但由于其公式多，性质繁，使不少同学对其有种畏惧感，突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名．
(1)变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)．
(2)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式，方法通常有：“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．
(3)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，方法通常有“切化弦”“升次与降次”等．


　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝1－.
(1)证明：sin A＝；
(2)若sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，求tan B.
解析：(1)证明：因为＝1－，所以＋＝1，所以＋＝1，
所以sin Acos B＋cos Asin B＝sin Asin B，所以sin(A＋B)＝sin Asin B，在△ABC中，A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C，
根据正弦定理可得bsin A＝c，即sin A＝.
(2)因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，根据正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
根据余弦定理，可得cos A＝＝＝，
所以sin A＝＝.
由(1)知sin Acos B＋cos Asin B＝sin Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B，所以－ sin B＝ cos B，
故tan B＝＝－.
[破解笔语 　破解此类题的关键是过好“三关”：第一关，设计关，分析已知等式的边角关系，合理设计“边”往“角”化，还是“角”往“边”化；第二关，化简关，即利用同角三角函数的基本关系式，与两角和的正弦公式进行三角恒等变换；第三关，定理关，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等将三角形中边角关系进行互化．常利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形中的基本量．
[提分训练
(2018·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b.
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值．
解析：(1)由2ccos B＝2a＋b及余弦定理，得2c·＝2a＋b，
得a2＋c2－b2＝2a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝＝－，
又0＜C＜π，∴C＝.
(2)∵S＝absin C＝c，∴c＝ab.
又c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab，
∴＝a2＋b2＋ab≥3ab，ab≥12，当且仅当a＝b时取等号．
故ab的最小值为12.



二、数列问题重在“归”——化归、归纳
授课提示：对应学生用书第94页

策略指导
思维流程
　　等差数列与等比数列是两个基本数列，是一切数列问题的出发点与归宿．首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量．只要涉及这两个数列的数学问题，我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的情形出发，从中归纳出一般的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目的特点，将数列问题化归为函数问题来解决.

　在公比为正数的等比数列{an}中，a3－a1＝，a2＝－，数列{bn}的前n项和Sn＝n2.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
解析：(1)设数列{an}的公比为q(q＞0)，
由可得所以an＝－·()n－1＝－2·()n.
因为Sn＝n2，所以当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1也符合上式，所以bn＝2n－1.
综上，an＝－2·()n，bn＝2n－1.
(2)由(1)知anbn＝－2(2n－1)·()n，
所以Tn＝－2[1·()1＋3·()2＋5·()3＋…＋(2n－1)·()n ，　①
Tn＝－2[1·()2＋3·()3＋5·()4＋…＋(2n－3)·()n＋(2n－1)·()n＋1 ，　②
由①－②，得Tn＝－2[＋2·()2＋2·()3＋…＋2·()n－(2n－1)·()n＋1 ＝－2[－(2n＋2)·()n＋1 ，
所以Tn＝－2＋.
[破解笔语 　求解此类题的关键：一是方程组思想，即利用等比数列的通项公式，把已知等式转化为关于首项与公比的方程组，解方程组，求出首项与公比，从而得其通项公式；二是分类讨论思想的运用，知数列的前n项和公式，常对项数进行分类讨论，并利用bn＝，可快速求出其通项公式；三是错位相减法的运用，有关求数列{anbn}(其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列)的前n项和，常利用错位相减法来求和．
[提分训练
(2018·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N .
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3，求＋＋…＋.
解析：(1)＝(32－1)＝3，
当n≥2时，因为
＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)
＝(32n－1)－(32n－2－1)
＝32n－1，
当n＝1，＝32n－1也成立，
所以an＝.
(2)bn＝log3＝－(2n－1)，
因为＝＝(－)，
所以＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝(1－)
＝.


三、立体几何问题重在“建”——建模、建系
授课提示：对应学生用书第95页

策略指导
思维流程
　　立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系．建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．


　《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM­DCP与刍童ABCD­A1B1C1D1的组合体中，AM⊥AB，AB＝AD，A1B1＝A1D1.

(1)证明：直线BD⊥平面MAC；
(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝，三棱锥A­A1B1D1的体积V＝，且AA1＝BB1＝CC1＝DD1，求平面BCPM与平面AA1B1B夹角的余弦值．
解析：(1)证明：由题可知堑堵ABM­DCP是底面为直角三角形的直棱柱，
所以AD⊥平面MAB，所以AD⊥MA.
因为MA⊥AB，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，
所以MA⊥平面ABCD，所以MA⊥BD.
因为AB＝AD，AD⊥AB，所以四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，
又MA∩AC＝A，MA，MC⊂平面MAC，
所以直线BD⊥平面MAC.
(2)设刍童ABCD­A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A­A1B1D1的体积V＝×(×2×2)×h＝，解得h＝.
连接A1C1与B1D1交于点O，以O为原点，直线A1C1，B1D1分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系O­xy ，如图所示．
则M(，0,2)，B(0，，)，P(0，－，2)，B1(0，，0)，A1(，0,0)，
＝(－，－，0)，＝(－，，－)，＝(0，，－)，＝(，－，0)．
设平面BCPM的法向量为n＝(x，y， )，平面AA1B1B的法向量为m＝(a，b，c)，
因为所以令x＝1，则y＝－1， ＝－，即平面BCPM的一个法向量为n＝(1，－1，－)．
又所以令a＝1，则b＝1，c＝，即平面AA1B1B的一个法向量为m＝(1,1，)．
设平面BCPM与平面AA1B1B的夹角为θ，则cos θ＝ cos〈n，m〉 ＝＝＝，
即平面BCPM与平面AA1B1B夹角的余弦值为.
[破解笔语 　利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四破“应用公式关”，熟记二面角的公式，即可求出二面角．应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以应该根据这个二面角的实际情况确定其大小．
[提分训练
　如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB＝BD＝2，AE＝，∠EAD＝∠EAB.

(1)证明：平面ACFE⊥平面ABCD；
(2)若AE与平面ABCD所成角为60˚，求二面角B­EF­D的余弦值．
解析：(1)证明：如图，连接EG，

因为四边形ABCD为菱形，所以AD＝AB，BD⊥AC，DG＝GB，
在△EAD和△EAB中，AD＝AB，AE＝AE，∠EAD＝∠EAB，
所以△EAD≌△EAB，所以ED＝EB，所以BD⊥EG，
因为AC∩EG＝G，所以BD⊥平面ACFE，
因为BD⊂平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD.
(2)如图，在平面ACFE内，过G作AC的垂线，交EF于点M，

由(1)可知，平面ACFE⊥平面ABCD，又平面ACFE∩平面ABCD＝AC，所以MG⊥平面ABCD，
所以直线GM，GA，GB两两垂直，
分别以直线GA，GB，GM为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系G­xy (如图)，
易得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，所以∠EAC＝60˚，
则D(0，－1,0)，B(0,1,0)，E(，0，)，F(－，0，)，＝(2，0,0)，＝(，－1，)，＝(，1，)．
设平面BEF的法向量为n＝(x，y， )，
则所以
取 ＝2，则y＝3，可得平面BEF的一个法向量为n＝(0,3,2)，
同理可得平面DEF的一个法向量为m＝(0,3，－2)，
所以cos〈n，m〉＝＝＝，
所以二面角B­EF­D的余弦值为.


四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型
授课提示：对应学生用书第96页


策略指导
思维流程
　　概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要模型一找到，问题便迎刃而解．而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，同时，还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复杂事件．


　为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农 院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图所示(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．

(1)完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1 的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
(2)在上述样本中，从易倒伏的玉米中抽出2株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X，求X的分布列与期望．
附：
P( 2≥ 0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
( 2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.)
解析：(1)假设抗倒伏与玉米矮茎无关．
根据统计数据作出2×2列联表如下：

抗倒伏
易倒伏
合计
矮茎
15
4
19
高茎
10
16
26
合计
25
20
45
2的观测值 ＝≈7.287＞6.635，
因此可以在犯错误概率不超过1 的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
(2)样本中的易倒伏矮茎玉米共4株，则X的所有可能取值为0,1,2，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
[破解笔语 　破解茎叶图、独立性检验、超几何分布相交汇题的关键：一是会绘图，能由茎叶图提供的数据绘制列联表；二是会应用公式，把所给的数据代入独立性检验公式求出 2的观测值 ，并将 的值与临界值进行对比(临界值一般是寻找临界值表中最靠近 2的观测值且比 2的观测值小的那个值)，进而作出统计推断；三是判断随机变量X服从超几何分布H(N，M，n)，可直接利用公式P(X＝ )＝( ＝0,1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N )，求其概率与分布列．
[提分训练
　2017年3月26日中国郑开国际马拉松赛在郑州鸣枪开赛，赛后某机构用“10分制”调查了很多人(包括普通市民、运动员、政府官员、组织者、志愿者等)对此项赛事的满意度．现从调查人群中随机抽取16名，茎叶图(如图)记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．

(1)指出这组数据的众数和中位数；
(2)若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体(人数很多)中任选3人，记ξ表示抽到“极满意”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
解析：(1)众数为8.6，中位数为＝8.75.
(2)由茎叶图可知，满意度为“极满意”的被调查者有4人．
设Ai表示所取3人中有i人是“极满意”，至多有1人是“极满意”记为事件 A，
则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.
(3)从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极满意”的人的概率为＝，故依题意可知，从该被调查群体中任选1人，抽到“极满意”的人的概率为p＝.
易知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ B(3，)，
所以P(ξ＝0)＝()3＝，P(ξ＝1)＝C×()2＝，
P(ξ＝2)＝C()2×＝，P(ξ＝3)＝()3＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




所以E(ξ)＝3×＝.

五、解析几何问题重在“设”——设点、设线
授课提示：对应学生用书第98页



策略指导
思维流程
　　解析几何试题知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．

解析几何解答题→—
　已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)上的动点P到右焦点距离的最小值为3－2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l和椭圆C交于M，N两点，A为椭圆的右顶点，·＝0，求△AMN面积的最大值．
解析：(1)由已知得解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设直线AM的方程为y＝ (x－3)，不妨令 ＞0，
因为·＝0，所以直线AN的方程为y＝－(x－3)，
联立消去y，得(9 2＋1)x2－54 2x＋81 2－9＝0，　( )
设M(x1，y1)，因为点A(3,0)在直线AM上，所以3，x1为方程( )的两实数根，所以3x1＝，所以x1＝，
所以 AM ＝ 3－x1 ＝·，
用－替换 得 AN ＝·＝·，
所以S△AMN＝ AM · AN ＝(1＋ 2)·＝＝＝≤＝，
当且仅当64 2＝9( 2＋1)2，即 ＝时等号成立．故△AMN面积的最大值为.
[破解笔语 　求解最值问题需准确把握题意，结合圆锥曲线的定义及几何性质，建立函数或不等式模型；再利用基本不等式、函数的单调性、数形结合等求其最值．注意所选用变量的取值范围，这个范围就是所建立函数的定义域，只有在这个定义域内才能确保求出的最值是正确的．当直线的斜率作为变量时，要考虑斜率的存在性，必要时需分情况讨论．
[提分训练
已知动圆过点F(0，)，且与直线l1：4y＋1＝0相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)直线l2的斜率为1，在y轴上的截距为－1，过l2上的动点M作曲线C的切线，切点分别记为A，B，判断直线AB是否恒过定点，若恒过定点，求出该点坐标；否则，请说明理由．
解析：(1)因为动圆过点F(0，)，且与直线l1：4y＋1＝0相切，
根据抛物线的定义，动圆圆心的轨迹C是以点F(0，)为焦点，以定直线y＝－为准线的抛物线．
设轨迹C：x2＝2py(p＞0)，则＝，即p＝，
所以动圆圆心的轨迹C的方程为x2＝y.
(2)直线AB恒过定点(，1)．
理由如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x＝y1，x＝y2，
因为x2＝y，所以y′＝2x，所以过点A(x1，y1)的切线方程为y－y1＝2x1(x－x1)，
即y－y1＝2x1x－2x，即y＝2x1x－y1，
过点B(x2，y2)的切线方程为y－y2＝2x2(x－x2)，即y－y2＝2x2x－2x，即y＝2x2x－y2
因为过点A，B的切线都过点M(x0，y0)，所以y0＝2x1x0－y1，y0＝2x2x0－y2，
所以点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线y0＝2 0－y上，
所以直线AB的方程为y0＝2 0－y，即2x0x－y－y0＝0，
因为直线l2的斜率为1，在y轴上的截距为－1，所以直线l2：y＝x－1，
又点M(x0，y0)是直线l2上的动点，所以x0－y0－1＝0，即y0＝x0－1，
所以直线AB的方程为2x0x－y－(x0－1)＝0，即x0(2x－1)＋(1－y)＝0，
由得所以直线AB恒过定点(，1)．



六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解
授课提示：对应学生用书第99页


策略指导
思维流程
　　以函数为载体，以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题，多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论，复杂函数的零点的讨论，不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于此类综合试题，一般先求导，再变形或分解出基本函数，再根据题意处理.
→—

　已知函数f(x)＝ax(a∈R)，函数g(x)＝ln x＋bx在点(1，g(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)若函数F(x)＝f(x)－g(x)有极值－1，求a的值；
(2)若函数G(x)＝f[sin(1－x) ＋g(x)在区间(0,1)上为增函数，求a的最大值．
解析：(1)因为函数g(x)＝ln x＋bx在点(1，g(1))处的切线方程为y＝x－1，所以g(1)＝0，所以0＝ln 1＋b，解得b＝0，所以g(x)＝ln x.
因为f(x)＝ax，g(x)＝ln x，且F(x)＝f(x)－g(x)，
所以F(x)＝ax－ln x(x＞0)，所以F′(x)＝a－(x＞0)．
当a≤0时，F′(x)＜0，函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数F(x)无极值．
当a＞0时，由得0＜x＜；由得x＞.
所以函数F(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
因为函数F(x)有极值－1，所以F()＝1－ln＝－1，故a＝e－2.
(2)因为f(x)＝ax，g(x)＝ln x，且G(x)＝f[sin(1－x) ＋g(x)，
所以G(x)＝asin(1－x)＋ln x，所以G′(x)＝－acos(1－x)＋，
因为函数G(x)在区间(0,1)上为增函数，
所以G′(x)＝－acos(1－x)＋≥0对x∈(0,1)恒成立，
当x∈(0,1)时，1－x∈(0,1)，则cos(1－x)＞0，
故a≤对x∈(0,1)恒成立，
记h(x)＝(0＜x＜1)，
则h′(x)＝－＜0，
故函数h(x)在(0,1)上单调递减，所以h(x)＞h(1)＝1，所以a≤1，
所以实数a的最大值为1.
[破解笔语 　破解此类题的关键：一是方程思想，求解含有参数的可导函数f(x)的极值时，对参数进行分类讨论，寻找f′(x)＝0的根，以及在根的左、右两侧导数的符号；二是转化思想，即可导函数f(x)在某个区间D内单调递增(或递减)，则有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间D内恒成立，从而把已知函数的单调性问题转化为恒成立问题来解决，这里需注意等号能否取到．
[提分训练
(2018·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
解析：(1)f′(x)＝－a(x＞0)，
①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，
故f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
(2)证明：因为x＞0，所以只需证f(x)≤－2e，
当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.
记g(x)＝－2e(x＞0)，则g′(x)＝，
所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝－e.
综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.