2019届二轮复习（理）专题跟踪训练21空间几何体的三视图、表面积与体积作业（全国通用）

专题跟踪训练(二十一)

一、选择题

1．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A．3  B．2  C．2  D．2

[解析]　由三视图得该四棱锥的直观图如图中S－ABCD所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面ABCD是边长为2的正方形，SB⊥面ABCD，SB＝2，所以SD＝＝2.故选B.

[答案]　B

2．(2018·益阳、湘潭高三调考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为(　　)

A.  B.  C.  D．4

[解析]　由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥A－PBC(放到棱长为2的正方体中)，则VA－PBC＝×S△PBC×AB＝××2×2×2＝.故选B.

[答案]　B

3．(2018·辽宁五校联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．36  B．48  C．64  D．72

[解析]　由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为×3×4×4＋×3×4×4＝48，故选B.

[答案]　B

4．(2018·广东七校联考)某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是(　　)

A．13π  B．16π  C．25π  D．27π

[解析]　由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4，所以底面边长为2，由侧视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R，则2R＝＝5，解得R＝，所以该几何体的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝25π，故选C.

[答案]　C

5．(2018·洛阳市高三第一次联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为(　　)

A.π  B.π  C.π  D.π

[解析]　将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长，其长为2，则球O的体积V＝πR3＝π，故选A.

[答案]　A

6．(2018·河北第二次质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是(　　)

A．50  B．75  C．25.5  D．37.5

[解析]　由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.如图，图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以剩余部分的体积V＝V三棱柱－V四棱锥＝×5×5×5－×3×5×5＝37.5，故选D.

[答案]　D

7．(2018·广东广州调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．4＋4＋2   B．14＋4

C．10＋4＋2   D．4

[解析]　如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S－ABCD.连接AC，因为AC＝＝2，SC＝＝2，SD＝SB＝＝2，CD＝＝2，SB2＋BC2＝(2)2＋42＝24＝SC2，故△SCD为等腰三角形，△SCB为直角三角形．过D作DK⊥SC于点K，则DK＝＝，△SCD的面积为××2＝2，△SBC的面积为×2×4＝4.所求几何体的表面积为×(2＋4)×2＋2××2×2＋4＋2＝10＋4＋2，选C.

[答案]　C

8．(2018·河南濮阳二模)已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为(　　)

A.  B．5π  C．6π  D.

[解析]　取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作面ABD的垂线，过Q作面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ＝，CQ＝，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝，表面积为4πR2＝，故选D.

[答案]　D

9．(2018·广东揭阳一模)某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为(　　)

A．4π＋16   B．2(＋2)π＋16

C．4π＋8   D．2(＋2)π＋8

[解析]　由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表＝5×22＋2π··1＋2π·()2－22＝2(＋2)π＋16.故选B

[答案]　B

10．(2018·福建福州质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为(　　)

A．64－   B．64－8π

C．64－   D．64－

[解析]　由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去个圆锥和个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－＝64－.故选C.

[答案]　C

11．(2018·湖南十三校联考)三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示，则该三棱锥S－ABC的外接球的表面积为(　　)

A．32π   B.π

C.π   D.π

[解析]　设外接球的半径为r，球心为O.由正视图和侧视图可知，该三棱锥S－ABC的底面是边长为4的正三角形．所以球心O一定在△ABC的外心上方．记球心O在平面ABC上的投影点为点D，所以AD＝BD＝CD＝4××＝，则由题可建立方程 ＋＝4，解得r2＝.所以该三棱锥S－ABC的外接球的表面积S＝4πr2＝π.故选B.

[答案]　B

12．(2018·中原名校联考)已知A，B，C，D是球O表面上四点，点E为BC的中点，点AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED＝120°，AE＝DE＝，BC＝2，则球O的表面积为(　　)

A.π   B.

C．4π   D．16π

[解析]　由题意可知△ABC与△BCD都是边长为2的正三角形，如图，过△ABC与△BCD的外心M，N分别作面ABC、面BCD的垂线，两垂线的交点就是球心O.

连接OE，可知∠MEO＝∠NEO＝∠AED＝60°，

在Rt△OME中，∠MEO＝60°，ME＝，所以OE＝2ME＝，连接OB，所以球O的半径R＝OB＝＝＝，所以球O的表面积为S＝4πR2＝π，故选B.

[答案]　B

二、填空题

13．(2018·沈阳质检)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则的值为________．

[解析]　如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，所以＝＝.

[答案]　

14．(2018·宁夏银川一中模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．

[解析]　由三视图知，该几何体是一个高为2，底面直径为2的圆柱被一平面从上底面最右边缘斜向下45°切开所剩下的几何体，其体积为对应的圆柱的体积的一半，即V＝×π×12×2＝π.故答案为π.

[答案]　π

15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为________．

[解析]　依题意知，几何体是如图所示的三棱锥A－BCD.其中∠CBD＝120°，BD＝2，点C到直线BD的距离为，BC＝2，CD＝2，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝2，所以该几何体最长的棱长为2.

[答案]　2.

16．(2018·厦门一模)如图所示的是一个几何体的三视图，

则该几何体的表面积为________．

[解析]　该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26.

[答案]　26