2019届二轮复习 不等式与线性规划 作业（全国通用） 练习

1．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)

A．(－3,1)∪(3，＋∞)　　 　B．(－3,1)∪(2，＋∞)

C．(－1,1)∪(3，＋∞)   D．(－∞，－3)∪(1,3)

解析：选A　由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为或解得－3<x<1或x>3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．

2．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2＞b2   B.＞1

C．2a＞2b D．lg(a－b)＞0

解析：选C　根据函数的图象与不等式的性质可知：当a＞b时，2a＞2b，故选C.

3．若变量x，y满足约束条件则 ＝2x·y的最大值为(　　)

A．16   B．8

C．4   D．3

4．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为(　　)

A．(－3，＋∞)   B．(－3,2)

C．(－∞，2)∪(3，＋∞)   D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)

解析：选D　∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.

5．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为(　　)

A．1   B.

C.   D.

解析：选C　因为≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥.

6．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：

①若ac2＞bc2，则a＞b；

②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；

③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；

④若a＞b，则＞.

其中正确的命题有(　　)

A．1个   B． 2个

C．3个   D．4个

7．若实数x，y满足不等式组

且x－y的最大值为5，则实数m的值为(　　)

A．0   B．－1

C．－2   D．－5

解析：选C　根据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令 ＝x－y，则y＝x－ ，当直线y＝x－ 过点B(1－m，m)时， 取得最大值5，所以1－m－m＝5⇒m＝－2.

8．对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)   B．(1，＋∞)

C．(e，＋∞)   D．[1，＋∞)

解析：选B　因为存在实数x0(x0≠0)，使得f(x0)＝－f(－x0)，则ex0－a＝－e－x0＋a，即ex0＋＝2a，又x0≠0，所以2a＝ex0＋>2＝2，即a>1.

9．若1≤log2(x－y＋1)≤2， x－3 ≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是(　　)

A．0   B．－2

C．2   D．6

解析：选C　1≤log2(x－y＋1)≤2， x－3 ≤1，

即变量x，y满足约束条件

即

作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得x－2y在A(2，－1)，C(4, 3)处取得最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.

10.已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为(　　)

A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1,2)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)

11．已知点P(x，y)满足过点P的直线与圆x2＋y2＝14相交于A，B两点，则 AB 的最小值为(　　)学 +

A．2   B．2

C．2   D．4

解析：选D　不等式组

所表示的平面区域为△CDE及其内部(如图)，其中C(1,3)，D(2，2)，E(1,1)，且点C，D，E均在圆x2＋y2＝14的内部，故要使 AB 最小，则AB⊥OC，因为 OC ＝，所以 AB ＝2×＝4，故选D.

学, , 

12．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　) 学         

A．12万元   B．16万元

C．17万元   D．18万元

解析：选D　根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则

目标函数为 ＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时， 取得最大值且 max＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.

13．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：

①若ac2＞bc2，则a＞b；

②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；

③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；

④若a＞b，则＞.

其中正确的有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

解析：选B.①ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，①正确；

②由不等式的同向可加性可知②正确；

③需满足a、b、c、d均为正数才成立；

④错误，如：令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但＜.故选B.

14．已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)

A．{x 2＜x＜3}   B．{ ≤2或x≥3}

C.   D.

解析：选B.∵不等式ax2－bx－1＞0的解集是

，

∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，

且a＜0.

∴解得

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.

15．若x，y满足约束条件则 ＝y－x的取值范围为(　　)

A．[－2,2    B.

C．[－1,2    D.

学     

16．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是(　　)

A.   B.

C．2＋   D．2－

解析：选A.∵an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，      . 

∴＝＝≥

＝，当且仅当n＝4时取等号．

∴的最小值是，故选A.

17．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为，a，b的三条线段，则ab的最大值为(　　)

A.   B.

C.   D．3

解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a2＋x2＝4，b2＋y2＝4，x2＋y2＝3，则a2＋b2＝x2＋y2＋2＝3＋2＝5，又5＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，所以选C.

18．设x，y满足约束条件则的取值范围是(　　)

A．[1,5    B．[2,6

C．[3,11    D．[3,10

解析：选C.画出约束条件

的可行域如图阴影部分所示，

则＝＝1＋2×，的几何意义为过点(x，y)和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知的取值范围为 MA≤≤ MB，即∈[1,5 ，所以的取值范围是[3,11 ．

19．设x，y满足不等式若M＝3x＋y，N＝x－，则M－N的最小值为(　　)

A.   B．－

C．1   D．－1    . 

解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(－1,2)，B(3,2)，当直线3x＋y－M＝0经过点A(－1,2)时，目标函数M＝3x＋y取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x≤3，所以函数N＝x－在x＝－1处取得最大值－，由此可得M－N的最小值为－1－＝.

20．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)

A．a≥   B．0＜a≤1

C．1≤a≤   D．0＜a≤1或a≥

解析：选D.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x－y＝0与直线2x＋y＝2的交点是，而直线x＋y＝a与x轴的交点是(a,0)．

由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a≥＋或0＜a≤1，所以选D.

21．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB＝(　　)

A.   B.

C．－   D．－

解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P到点O距离最小时，∠APB最大，此时 OP ＝＝2，又OA＝1，故∠OPA＝，

∴∠APB＝，∴cos∠APB＝.

22．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则(　　)

A．c≤3   B．3＜c≤6

C．6＜c≤9   D．c＞9

解析：选C.由0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，得0＜－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c≤3，

由－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，得3a－b－7＝0，①

由－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，得

4a－b－13＝0，②

由①②，解得a＝6，b＝11，∴0＜c－6≤3，

即6＜c≤9，故选C.

23．函数f(x)＝1＋logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．

解析：因为loga1＝0，所以f(1)＝1，故函数f(x)的图象恒过定点A(1,1)．

由题意，点A在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即m＋n＝2.

而＋＝×(m＋n)

＝，

因为mn＞0，所以＞0，＞0.

由均值不等式，可得＋≥2×＝2(当且仅当m＝n时等号成立)，

所以＋＝≥×(2＋2)＝2，即＋的最小值为2.

答案：2

24．设P(x，y)是函数y＝(x＞0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．

解析：因为x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得

x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立．

答案：2

25．若变量x，y满足约束条件则w＝4x·2y的最大值是________．

解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w＝4x·2y＝22x＋y，要求其最大值，只需求出2x＋y＝t的最大值即可，由平移可知t＝2x＋y在A(3,3)处取得最大值t＝2×3＋3＝9，故w＝4x·2y的最大值为29＝512.

答案：512

26．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为________．

27．在R上定义运算：x y＝x(1－y)，若不等式(x－a) (x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：由于(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a) (x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝2－≥－，则a2－a－1≤－，解得－≤a≤.

答案：

28．设 ＝ x＋y，其中实数x，y满足若 的最大值为12，则实数 ＝________.

解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．

由图可知当0≤－ <时，直线y＝－ x＋ 经过点M(4,4)时 最大，所以4 ＋4＝12，解得 ＝2(舍去)；当－ ≥时，直线y＝－ x＋ 经过点B(0,2)时 最大，此时 的最大值为2，不合题意；当－ <0时，直线y＝－ x＋ 经过点M(4,4)时 最大，所以4 ＋4＝12，解得 ＝2，符合．综上可知 ＝2.

答案：2

29．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min，则t的最大值为________．

解析：因为x＞0，y＞0，所以问题转化为t2≤(2x＋y)·＝≤＝＝2，当且仅当x＝y时等号成立，所以0＜t≤，所以t的最大值为.

答案：