□高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量(检测)

□高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量一、必备公式1．空间几何体的表面积与体积公式：(1)基本公式：①圆：面积S圆＝         ，  周长C圆＝         ； ②扇形：弧长l扇形＝    ，  面积S扇形＝      ＝αR2，  周长C扇形＝l＋2R．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝     S圆台侧＝π(r1＋r2)l(3)柱、锥、台和球的体积公式①柱体(棱柱和圆柱)：S表面积＝S侧＋2S底，V柱＝      ； ②锥体(棱锥和圆锥) ：S表面积＝S侧＋S底，V锥＝      ；③台体(棱台和圆台) ： S表面积＝S侧＋S上＋S下，V台＝                  ； ④球：S球＝     ，V球＝      ； 2．平行关系的判定及性质定理：(1)线∥面的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外的一条直线与         的一条直线平行，则该直线与此平面平行．            (简记为“线线平行⇒线面平行”)∵       ，        ，       ∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的      与该直线平行．  (简记为“线面平行⇒线线平行”)∵       ，       ，         ∴l∥b(2)面∥面的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条            与另一个平面平行，则这两个平面平行．                (简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，         ，a⊂α，b⊂α       ∴α∥β性质定理两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的        平行          (简记为“面面平行⇒线线平行”)∵       ，        ，         ∴a∥b注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面        ，(简记为“面面平行⇒线面平行”) 3．垂直关系的判定及性质定理：(1)线⊥面的判定定理及性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的            直线都垂直，则该直线与此平面垂直．      (简记为“线线垂直⇒线面垂直”)∵l⊥a，l⊥b，a、b⊂α，       ∴l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．∵a⊥α，b⊥α ∴         (2)面⊥面的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的        ，则这两个平面垂直．(简记为“线面垂直⇒面面垂直”)∵        ，          ∴α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于        的直线与另一个平面垂直．        (简记为“面面垂直⇒线面垂直”)∵α⊥β，l⊂β，        ，       ∴l⊥α注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则       该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直⇒线线垂直”) 4．空间向量与立体几何的求解公式：(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cos θ＝       ；(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|        |＝           . (3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则两面的成角θ满足：cos θ＝cos〈n1，n2〉＝            ；注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的        ，具体情况要判断确定．(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为：||＝           ，即向量在法向量n的方向上的投影长. 二、必备结论1．直观图与原图的关系：(1)作图关系：①位置：     性、       性不变； ②长度：平行x(z)轴的长度     ，平行y轴的长度     .(2)面积关系：S直观图′＝        ×S原图； 2．几个与球有关的内切、外接常用结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝       ；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；  ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.(2)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝                .(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：          . 3．几种常见角的取值范围： ①异面直线成角∈             ②二面角∈           ③线面角∈              ④向量夹角∈                ⑤直线的倾斜角∈         三、必备方法1．三视图还原方法：           法，具体步骤：①根据三视图轮廓画长方体或正方体； ②在底面画      ；③综合正视图和左视图进行提点连线；   ④验证与完善. 2．平行构造的常用方法： ①三角形      法；  ②平行四边形线法；  ③         法.注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角；  ②平行关系的判定. 3．垂直构造的常用方法： ①等腰三角形        法；②         法；   ③投影法. 4．用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔        .(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔        .(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔         . 5．用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔             .(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔          .(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔          . 6．点面距常用方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； ②        法； ③向量法 7．外接球常用方法：①将几何体补成长方体或正方体，则球直径=               ；  ②过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球           ，找到球心即可求半径. 四、必备细节1．证明平行和垂直关系时，条件罗列要全面；2．用法向量求二面角时，要注意判断法向量夹角就是二面角还是二面角的补角；3．在解决角度和距离问题时，一定要遵循“一作、二     、三求解”的原则。