2021长春高三质量检测（四）数学（理）含解析

www.ks5u.com长春市2021届高三质量监测(四)

理科数学

本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则(∁UA)∩(∁UB)＝

A.{6}     B.{1，6}     C.{2，3}     D.{1，4，5，6}

2.在复平面内，复数6＋5i与－3＋4i对应向量与，则向量对应的复数是

A.－1＋9i     B.9＋i     C.－9－i     D.9－i

3.在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏。在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如下：

从表中可以得出正确的结论为

A.表中m的值为8                  B.估计观看比赛不低于5场的人数是860人

C.估计观看比赛场数的众数为8       D.估计观看比赛不高于3场的人数是280人

4.如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝－log3x的一个是

A.①     B.②     C.③     D.④

5.右面程序框图，输出的结果为S＝132，则判断框中应填

A.i≥10？     B.i≥11？     C.i≤11？     D.i≤12？

6.已知等比数列{an}中，a1＋a2＝，a4＋a5＝18，则其前5项的积为

A.64     B.81     C.192     D.243

7.已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为

A.     B.     C.     D.

8.学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为

A.     B.     C.     D.

9.等差数列{an}的前n项和为Sn，若∀n∈N*，Sn≤S7，则数列{an}的通项公式可能是

A.an＝16－3n     B.an＝15－2n     C.an＝2n－14     D.an＝2n－15

10.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min。已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度H(m)关于时间t(min)的函数关系式为H＝65－55cost(0≤t≤30)，若甲、乙两人的座舱之间有7个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为

A.25m     B.27.5m     C.25m     D.55m

11.已知F是椭圆的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝60°，则椭圆离心率的取值范围是

A.(0，)     B.(，1)     C.(0，)     D.(，1)

12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＋xf'(x)>1(f'(x)为函数f(x)的导函数)，则不等式(1＋x)f(1－x2)>f(1－x)＋x的解集为

A.(0，1)     B.(0，1]     C.(0，＋∞)     D.(0，1)∪(1，＋∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.           。

14.已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，其一条渐近线的方程为x－y＝0，且过点(2，)，则该双曲线的方程为           。

15.在直三棱柱ABC－A1B1C1中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，AB⊥AC，∠ACB＝30°，四边形ACC1A1为正方形，M为A1B的中点，则直线C1M与直线AB所成角的余弦值为        。

16.某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：m)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角α和β(β>a)，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h＝             ；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差εn近似满足εn～N(0，)，为使误差ε在(－0.5，0.5)的概率不小于0.9973，至少要测量           次。

参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9973。

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)

在①acosB－b＝c；②a2－b2＝c(b＋c)这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答。

问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知           。

(I)求角A；

(II)若sinB＝3sinC，a＝，求△ABC的周长。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18.(本小题满分12分)

在某班组织的一次篮球定点投篮比赛中，规定：每人最多投三次，在A处每投中一球得3分，在B处每投中一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次。某同学在A处投中的概率为0。25，在B处投中的概率为b，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投。用ξ表示该同学投篮比赛结束后所得的总分，其分布列为

(I)求b的值；

(II)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)。

19.(本小题满分12分)

如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB。

(I)指出四面体各面中与平面ACD垂直的面，并加以证明；

(II)若AB＝BC＝1，二面角C－AD－B的大小为α，当CD长度变化时，求α的取值范围。

20.(本小题满分12分)

已知函数、f(x)＝(x－1)lnx。

(I)求函数f(x)的最小值；

(II)若对任意的x>0，有f(ax＋1)<2xe2x－2x恒成立，求实数a的取值范围。

21.(本小题满分12分)

过抛物线x2＝4y的焦点F作不平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线相交于C点，直线CF交抛物线于D，E两点。

(I)求kAB·kCE的值；      (II)证明：|CE|·|DF|＝|CD|·|FE|。

(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(θ为参数)。若以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ＋)＝1。

(I)求出曲线C的极坐标方程；

(II)若射线θ＝θ1(不包括端点)与曲线C和直线l分别交于A，B两点，当θ1＝(，)时，求|OA|·|OB|的取值范围。

23.(本小题满分10分)选修4－5不等式选讲

已知函数f(x)＝m－|x＋2|，m∈R，且f(x－2)≥0的解集为[－3，3]。

(I)求m的值；

(II)若a，b，c是正实数，且a＋2b＋3c＝m，证明：≥3。