【数学】广西钦州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：每小题5分，12题共60分，每个小题只有一项是符合题目要求的．
1．复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下表格是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（ ）
X | 3 | 4 | 5 | 9 |
P |
A． B． C． D．
3．设，若在处的导数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．二项展开式中，常数项为（ ）
A．240 B．-240 C．15 D．不存在
5. 利用反证法证明：若，则，则其假设为( )
A．都不为0 B．不都为0 C．都不为0，且 D．至少有一个为0
6．研究变量得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
②用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，变量就增加2个单位
④若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强
以上正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．有名学生，其中有名男生,3名女生.现在从中选出名代表，选出的代表中男生人数为， 则其数学期望为（ ）
A． B． C． D．
8．一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个，某人在自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200 C．300 D．400
10．已经知道函数在上，则下列说法不正确的是( )
A．最大值为9 B．最小值为 C．在区间上单调递增 D．是它的极大值点
11．极坐标系中，点在圆上，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足, 若，
则的最大值为（ ）
二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．= ______ ．
14．函数的单调减区间为_______ ．
15．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．
16．已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为______.
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：
（1）根据该等高条形图，完成右上列联表，并用独立性检验的方法分析，
则在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关？
（2）从男性观众中按喜欢节目与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．
从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率．
附：
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
18．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？
（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？
19．已知数列满足，对任意，都有成立.
（1）求出的值. （2）推测出数列通项公式并用数学归纳法证明.
20．2020年初，由于疫情影响，开学延迟，为了不影响学生的学习，国务院、省市区教育行政部门倡导各校开展“停学不停课、停学不停教”，某校语文学科安排学生学习内容包含老师推送文本资料学习和视频资料学习两类，且这两类学习互不影响已知其积分规则如下:每阅读一篇文本资料积1分，每日上限积5分;观看视频1个积2分，每日上限积6分.经过抽样统计发现，文本资料学习积分的概率分布表如表1所示，视频资料学习积分的概率分布表如表2所示.
（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习总积分不低于9分的概率；
（2）现随机抽取3人了解学习情况，设总积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望.
21．在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求与的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与的交于点，与交于、两点，求的面积．
22．设函数
（1）若在处取得极值，求，并求此时曲线在点处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求的取值范围．
参考答案
1．A 2．C 3．B 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C p==．故选C．
9．C ∵，，
所以，所以成绩在90分到105分之间的人数约为．
10．C ，令，解得或，
所以当，时，，函数单调递增，当时，，
函数单调递减，C错误；所以是它的极大值点，D正确；
因为，所以函数的最大值为9，A正确；
因为，所以函数的最小值为，B正确.
11．D 由得，∴圆心（0，0），,
由，得，又圆心（0，0）到直线的距离为，
∴直线和圆相离，所以点P到直线的距离的最小值为，
12．D 得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，
令；则
当时，
当时，的最大值为
13． 14．.：∵，，则，
由，即，解得 ，，即函数单调减区间为，
15．，甲获得冠军的概率为，
其中，比赛进行了局的概率为，.故答案为：.
16． 令，当时，，在上单调递增．因为是偶函数，所以是奇函数．因为，所以．不等式等价于，所以或，解得或．故答案为：
17．（1）由题意得列联表如表：
则的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关．
（2）利用分层抽样在男性抽取5名，喜欢娱乐节目的人数为，
不喜欢节目的人数为． P=．
18．（1）（种）（2）（种）（3）（种）
19． （1）由，以及，令，可得：，
令，可得：，令，可得：.
（2）由（1），归纳猜想：， 下面应用数学归纳法进行证明：
①当时，，满足题意，故成立；
②假设当成立，即
故当时：== 故时，等式成立，
由①②可知，对任意自然数等式都成立，故
20．（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形共有（如表所示）：
文本 | 3 | 4 | 5 | 5 |
视频 | 6 | 6 | 6 | 4 |
因为两类学习互不影响，所以每日学习积分不低于9分的概率，
（2）随机变量的所有可能取值为，
由（1）每个人积分不低于9分的概率为.
0 | 1 | 2 | 3 | |
P |
，，，，
随机变量的概率分布列为：.的数学期望为.
21．（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，根据题意，曲线的普通方程为
曲线的极坐标方程为，
曲线的普通方程为，即
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为
联立与:得，解得点P的坐标
点P到的距离.设将代入，得则，,.
22．：（1）对求导得
因为在处取得极值，所以，即.
当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得
（2）由（1）得，,令
由，解得.
当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；
当时，,故为减函数； 由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为.
（另外方法：分离参数，恒成立问题，求最值）
