福建省龙海市第二中学2020届高三下学期模拟考试 数学（文）
展开龙海二中2020届高三下学期第二次模拟考试
数学（文科）试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1.已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
2.设复数z满足，则=
（A） （B） （C） （D）
3.函数的部分图像如图所示，则
（A） （B）
（C） （D）
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
5.已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
- 已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则
实数
（A） （B） （C） （D）
7.等比数列的前项和为，若，，则（ ）
（A） 18 （B） 10 （C） -14 （D） -22
8.函数的部分图像大致为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9.已知函数在单调递增，则的最大值是( )
（A） （B） （C） （D）
10. 若实数，满足不等式组 则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
11.在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是（ ）
（A）3 （B） （C） （D） 4
12.已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，则 ．
14.已知向量，，若，则__________．
15.设函数则使得成立的的取值范围是________．
16.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题12分）
已知，，分别为三个内角,,的对边，.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.
18．（本小题12分）
（17）（本小题满分12分）设正项数列的前项和为，且，当时，，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
19.（本小题12分）
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，
，.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)若,求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知动圆过定点，且与定直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点
（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
- （本小题满分12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：.
选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。
22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是.
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
龙海二中2018—2019学年第二学期期初考试
高三年数学（文科）参考答案
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | C | B | A | B | C | D | A | C | D | A | B |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．-3 15． 16．150
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得
....................................................2分
由于，所以，......................................................4分
又，故. ......................................................6分
(Ⅱ) 的面积==,故=4，..............................................9分
而 故=8，解得=2. .......................................12分
18【解析】（Ⅰ）当时，由，得，因为，所以，.........................................................................................................2分
故是以为首项，公差为的等差数列，所以，则有，
.........................................................................................................3分
当时，， ................................................................4分
且也适合， ..............................................................5分
故数列的通项公式的通项公式为. ......................................................6分
（Ⅱ）①当时，得，所以； ......................................................7分
②当时，由①，得②，①-②得，则有， .....................................................8分
可得数列的通项公式为， .....................................................9分
所以当时，； .....................................................10分
当时，， . .........11分
且也适合，故. .......................................12分
19解：（Ⅰ）证明：取中点，连接
可知且
又,在有
又，,
即 ………………………3分
又平面,平面
平面， ………………………5分
又平面
平面平面 ………………………6分
（Ⅱ）设点到平面的距离为
,
又平面平面，
且平面平面
面 ………………………8分
………………………9分
在中有，
…………………10分
，
所以点到平面的距离为 .………………………12分
20．（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离，与到定直线的距离相等，…1分
由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ……2分
其中．动圆圆心的轨迹的方程为． ………………3分
解法2：设动圆圆心，依题意：. ……………………………2分
化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程． ……………3分
（2）解：假设存在点满足题设条件．
由可知，直线与的斜率互为相反数，
即 ①..........................................4分
直线的斜率必存在且不为，设, ………………………………5分
由得． ………………………………………6分
由,得或． ……………………………………7分
设，则． ………………………………………………8分
由①式得,
,即．
消去，得, …………………………………………………9分
, ………………………………………10分
, …………………………………………11分
存在点使得． ………………………………12分
21、（1）解：由已知得，
∴∴，又∵，
曲线在点处的切线方程为：.........................................4分
（2）（ⅰ）令 ，
∴，
由得，；由得，易知，为极大值点，
又时，当时，
即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.
由题意，只需满足，
∴的取值范围是：.....................................................8分
（ⅱ）由题意知，，为函数 的两个零点，由（ⅰ）知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，
只需证明，而，
所以，只需证明.
令，则
∴.
∵，∴，即
所以，，即在上为增函数，
所以，，∴成立.
所以，......................................................12分
- 解：（Ⅰ）由得.
∵
∴曲线C的直角坐标方程为：. …………5分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程
化简得.
设A,B两点对应的参数分别为，则是上述方程的两根，
则有.
∴
∴
∵∴. ………………………10分23．解：（1）当时，原不等式可化为， ………………1分
①当时，，解得，所以； …………………2分
②当时，，解得，所以； ……………3分
③当时，，解得，所以． ……………………………4分
综上所述，当时，不等式的解集为． …………………5分
（2）不等式可化为，
依题意不等式在上恒成立，…………………6分
所以，即，即， …………………8分
所以，解得，
故所求实数的取值范围是． ……………………………………10分
