福建省福州第一中学2020届高三6月高考模拟考试数学（文）试题

福州一中2019—2020学年第二学期模拟试卷

高三文科数学试卷

（完卷时间120分钟满分150分）

（请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合，，若，则实数a的取值范围是

A．            B．            C． D．

2. 复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为

A．            B．          C．            D．

3．已知平面向量，，若向量与向量共线，则

A．              B．               C．              D．

4.已知是两条不同的直线，是一个平面，且，则“”是“”的

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件5．已知，则的大小关系是

A.           B．        C．         D．

6.已知正项等比数列的首项和公比相等，数列满足，且，则

A．                B．              C．              D．

7.已知函数，则不等式的解集是

A.                  B.  

C.                               D.

8.在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为

A.                   B.                 C.               D.

9.函数的部分图像大致是

       A                    B                  C                  D

10.已知函数，对于满足的，有，又，则下列说法正确的是

A．                              B．函数为偶函数      

C.函数在上单调递增     D．函数的图象关于点对称

11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，直线与抛物线的准线交于点,于，若的面积等于

，则

A.                B.                C.                D.

12.如图，正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为，分别是的中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是

A.                       B.         

C.                   D.

第Ⅱ卷

第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。第13－21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22－23题为选考题，考生按要求做答.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13. _________.

14.已知变量满足，则的最大值是           .

15.在中，点分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，满足,, 则双曲线的离心率为              .

16.已知的三个内角的对边分别为，且满足，，则角           ，的周长的取值范围是                 .

三、解答题：（共70分. 第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分)

已知等差数列，且.

（1）求数列的通项公式以及数列的前项和；

（2）设，求数列的前项和，并比较与的大小（不需要证明）.

18.（本小题满分12分)

如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E在PA线段上，PC平面BDE

（1）请确定点E的位置；并说明理由.

（2）若是等边三角形，, 平面PAD平面ABCD，

四棱锥的体积为，求点E到平面PCD的距离.

19.（本小题满分12分)

2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专项规定.某小区采取一系列措施，宣传垃圾分类的知识与意义，并采购分类垃圾箱.为了了解垃圾分类的效果，该小区物业随机抽取了200位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.根据调查结果统计并做出年龄分布条形图和持不满意态度的居民的结构比例图，如下：

在这200份问卷中，持满意态度的频率是0.65.

（1）完成下面的列联表，并判断能否有95﹪的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异

（2）按“51岁及以上”和“50岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取5份，再从这5份调查问卷中随机抽取2份进行电话家访，求电话家访的两位居民恰好一位年龄在51岁及以上，另一位年龄在50岁及以下的概率.

附表及参考公式：

，其中.

20.（本小题满分12分)

已知经过圆上点的切线方程是.

（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程;

（2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A、B，

①求证：直线AB过定点.

②当点P到直线AB的距离为时，求三角形PAB的外接圆方程.

21.（本小题满分12分)

已知函数，（是自然对数的底数）.

（1）求的单调区间；

（2）若函数，证明：有极大值，且满足.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），

以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（2）已知，曲线与的交点A, B满足（A为第一象限的点），

求的值.

 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）求解不等式：；

（2）设为正实数，若函数的最大值为，且.

求证：

福州一中2019—2020学年第二学期模拟试卷解答

一．选择题：

1～5 CBCAB        6～10 DACBC        11.12. BD

二．填空题：

13.    14.    15.     16. ；（第一问2分，第二问3分）

三．解答题：

17.解：（1）∵，               ………………2分

；……3分.   ………5分

（2）∵，                                ………………5分

∴       ………………8分

∴.  又∵比较的增长速度更快. …………9分

∴当时, ; ………10分

当时, . ∴当时，.             ……………12分

18.解：（1）点E为AP的中点.                                  ………………1分

连接AC交BD于O，当E为AP的中点时, 点O为AC的中点.

∴在中，,平面BDE,                      ………………3分

平面BDE. ∴平面BDE.                            ………………5分

（2）取AD的中点为F, ∵为等边三角形，∴.

又∵平面PAD平面ABCD,  平面PAD平面ABCD=AD,

∴PF平面ABCD,                   ………………6分

CD平面ABCD,  ∴, CDAD

AD, PF平面APD,  ADPF=F,  ∴CD平面APD,

CD平面PDC,  ∴平面PAD平面PCD,                      ………………7分

平面PAD平面PCD=PD, 做EGPD, ∴EG平面PCD

即点E到平面PCD的距离为EG.                               ………………9分

设边长AD=,由已知，

 ∴求得：.                                             ………………11分

∴求得E到平面PCD的距离为.                     ………………12分

19.解：（1）在这200份问卷中，持满意态度的频数为，持不满意态度和频数为.                                        ………………2分

∴列联表如下：

                                                        ………………4分

∴.

………………6分

故有95﹪的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异.                                                   ………………7分

（2）利用分层抽样的特点可知：“51岁以上”居民抽到2份记为：；

“50岁以下”居民抽到3份记为：.                     ………………8分

∴基本事件共有：

，共有10个. 满足条件的事件有：

，共有6个.                                  ………………11分

∴求得电话家访的两位居民恰好一位年龄在“51岁以上”，另一位年龄在“50岁以下”

的概率为：.                                    ……………12分

20.解：（1）切线方程为：.                      ………………2分

（2）设切点为，点，  由（1）的结论的

AP直线方程：，  BP直线方程：,   ………………3分

通过点，∴有， ∴A, B满足方程：，………5分

∴直线AB恒过点：   即直线AB恒过点.       ………………6分

又∵已知点到直线AB的距离为. ∴………………7分

，， ∴.            ………………8分

方法1当时，点，直线AB的方程为: .

求得交点.            ………………9分

设的外接圆方程为：，代入得

解得：的外接圆方程为           

即的外接圆方程为:                ………………11分

当时，由对称性可知，三角形PAB的外接圆方程为: .

………………12分

方法2当时，点，直线AB的方程为: .

求得交点.             ………………9分

直线AP的中垂线方程：， 直线AB的中垂线方程：

∴，解得圆心，半径.

∴解得的外接圆方程为             ……………11分

同理解得：当时，三角形PAB的外接圆方程为: .

………………12分

21.解：（1），设         ………………1分

∴当时，，单调递减；                ………………2分

当时，，单调递增.

即函数的减区间为；增区间为.             ………………3分

（2）又，

设，且                 ………………4分

∵， 在，，是增函数，∴.

∴，在上是单调递增，∴没有极值.   ………………5分

∵，.                         

在，，单调递减，              ………………6分

∴，.

由根的存在性定理：设 ，使得：，

即.                                   ………………8分

∵在，，∴单调递增； 在，

，∴单调递减；∴有极大值.………………9分

∵有.                   ………………10分

又∵， ∴，            ………………11分

.

综上可得：函数有极大值，且满足. ………………12分

22.解：（1）        ，当      时，      …………2分

又∵                   ，∴，           ………………4分

（2）   直线为：                （t为参数，）          

不妨设对应的直线参数为，且，将代入得，                     ………………5分

∴, …①      …②      ………………6分

∵已知，∴…③.                     ………………7分

联立①，③得：， .  代入③式，

， ∴  ………………9分

∴，（为锐角） ∴求得：              ……………10分

23.解：（1）当时，；

当时，；

当时，.

综合得：. ……………3分

∴求得不等式的解集为         ……………5分

（2）∵由函数的图象，得的最大值是2，即.……………6分

∴

                        ……………10分