福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷（一）数学（文）试题


福建省2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷
文 科 数 学（一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数满足，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．若椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则的离心率是
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙三部门组织人员报名参加一项志愿者活动，已知甲、乙两部门各报了2人，丙部门报了1人，若从这5人中随机抽取3人，则这3人来自不同部门的概率为
A． B． C． D．
5．已知函数是上的奇函数，当时，，则在处的切线的斜率为
A． B． C． D．
6． 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知某圆锥的母线与底面所成的角为，轴截面的面积为，则该圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
8． 2020年是5G的爆发之年，5月中国信通院发布了2020年4月国内手机市场运行分析报告，该报告统计了从2019年7月到2020年4月这十个月国内手机市场总出货量与国内5G手机出货量占同期手机出货量比重变化情况（简称市场占比），得到下面两个统计图，


则下列描述不正确的是
A．2020年4月国内5G手机出货量是这十个月中的最大值
B．从2019年7月到2020年2月，国内5G手机出货量保持稳定增长
C．相比2020年前4个月，2019年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定
D．2019年12月到2020年1月国内5G手机市场占比的增长率比2020年1月到2月的增长率大

9．若，则
A． B． C． D．
10．中，角的平分线交于，已知，则
A． B． C． D．
11．已知函数则在的所有零点之和等于
A． B． C． D．
12．已知半径为的球与正方体的六个面均相切，为球的球面上的动点，若，则的轨迹对应的曲线长度为
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量，且，则实数_____________．
14．角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则_____________．
15．若椭圆的左焦点是，坐标原点为，给定上的任意一点，则的最小值为_____________．
16．点为函数图象上一点，已知向右平移个单位后仍落在上．
①
②存在这样的，使得上任一点向左平移后仍在上
③存在这样的，使得上的点向右平移后仍在上
④若在单调递减，则
上述四个结论中，所有正确结论的编号为_____________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
记为正项数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）记为正项等比数列的前项和，且，，若，求的最小值．





18．（12分）
某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：

（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为，方差为．
①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若公司规定，分店一年（按360天计算）中日销售额不低于58万的天数应不少于90天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？
（2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．

19．（12分）
如图，在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，．
（1）点在侧棱上，且平面，证明：为的中点；
（2）若，求点到平面的距离．








20．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．






21．（12分）
已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条切线，切点分别为，记△的外接圆为，不论取何值，试判断以为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．




（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，将曲线绕点顺时针旋转得到曲线．
（1）求曲线的极坐标方程和直角坐标方程；
（2）过点的直线交曲线于两点，求的最小值．







23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2），，求的取值范围．





2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷
文科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B
7．C 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D
1．【解析】依题意，，则其在复平面内对应的点位于第四象限，故选D．
2．【解析】依题意，，则，故选B．
3．【解析】椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，设双曲线，则有，故其离心率，故选 A．
4．【解析】设甲部门的两人为，乙部门的两人为，丙部门的一人为，
从中随机抽取3人，则所有基本事件为，，，，，，，，，，共10种；
3人来自不同部门包含的基本事件为，，，，共4种；
则3人来自不同部门的概率为．故选D．
5．【解析】方法一：由函数是上的奇函数可得，当时，，所以
，所以，由导数的几何意义可得所求切线的斜率为，故选A．
方法二：当时，，所以，因为函数是上的奇函数，可导的奇函数的导数是偶函数，所以，由导数的几何意义可得所求切线的斜率为，故选A．
6．【解析】由程序框图可知，函数，绘制图象如下所示，结合图象可知，当时，，故选．
7．【解析】 如图是圆锥的轴截面，由题意可得，，所以△是等边三角形，设圆锥底面圆半径为，则，
所以，所以，所以圆锥侧面积为
，故选C．
8．【解析】因为2020年4月国内手机市场总出货量和国内5G手机市场占比均为十个月中的最大值，所以国内5G手机出货量最大，故A正确；
从2019年7月到2020年2月，国内5G手机的市场占比保持稳定增长，受国内手机总出货量影响，2月国内5G手机的出货量比1月有所下降，故B错误；
由上图知，相比2020年前4个月，2019年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定，故C正确；2019年12月到2020年1月国内5G手机市场占比的增长率为，2020年1月到2月的增长率为，前者大，故D正确；故选B．
9．【解析】通过，或构造函数，根据其在单调递增，可知，故A错误；
因为与大小不能确定，故B错误；
因为，所以，故C正确；
令，则，故D错误．故选C．
10．【解析】解法一：依题意，，，由正弦定理可知，
中，①；中，②，
将①÷②，得，故设，则，
又因为③，由余弦定理可知，
中，④；中，⑤，
联立③④⑤，可求得，故，故选A．
解法二：过作，
因为，所以，
由角平分线定理可知，，若设，则，．
在中，①
在中，②
联立①②可得，故，故选A．
11．【解析】由已知可作出函数的部分图象，可得当时与的图象的交点的横坐标分别为，
所以在的所有零点之和等于5，故选C．
12．【解析】依题意，的轨迹为平面与球的截面对应的圆．
依题意，可计算得，，记的中点为，
在直角中，可求得，故圆的周长为，故选．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．【解析】解法一：由已知，得，根据得
，解得．
解法二：由 ，得构成以为斜边的直角三角形，
又，由勾股定理，得，即，解得．
14．【解析】由已知可得，．
15．【解析】解法一： 由已知，得设，
则

解法二：设，
所以

令，则，
当，
解法三：由中线定理，得
设，
则（令）
，
所以．

16．【解析】由已知可得，图象的周期为，或一条对称轴为，
故或，所以①错误；
存在，，所以②正确；
因为图象有一条对称轴为，则关于的对称点为，故存在，使得上的点向右平移后仍在上 ，所以③正确；
因为时，在单调递减，且，故时，在单调递减也成立，所以④错误．故选②③．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
记为正项数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）记为正项等比数列的前项和，且，，若，求的最小值．
【命题意图】本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列通项与和等基础知识；考查运算求解、推理论证等基本能力；考查分类与整合、化归与转化基本思想；取向数学运算、逻辑推理核心素养．
解析：（1）当时，，可得． 1分
当时，由①，可得②． 2分
①—②得：． 3分
整理得．因为，所以， 5分
所以． 6分
（2）依题意，设为的公比，，，
又，所以， 8分
所以， 10分
所以，
由，得，故所求的最小值为5． 12分

18．（12分）
某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：

（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为，方差为．
①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若公司规定，分店一年（按360天计算）中日销售额不低于58万的天数应不少于90天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？
（2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．
【命题意图】本题主要考查平均数、方差、直方图基础知识；考查数据处理、运算求解基本能力；或然与必然的统计概率基本思想；取向数据分析、数学运算核心素养．
解法一：（1）①估计算乙店的日销售额平均数为． 4分
②日销售额超过58万的天数占比不少于， 6分
甲日销售额不低于58万的概率约为， 8分
乙日销售额不低于58万的概率约为，
两者均大于，两店均有达到这一规定的要求． 10分
（2）答案不唯一，但需结合数据与统计概率相关知识加以说理，方能给分．
答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，经计算，乙店方差为771，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；
答案二：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知，甲店的销售额方差明显低于甲店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；
答案三：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万-100万出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店． 12分
解法二：（1）①同解法一． 4分
②日销售额超过58万的天数占比不少于； 6分
由甲店的频率分布直方图可知，若甲店日销售额不低于万元时的概率不低于，
则， 8分
由乙店的频率分布直方图可知，乙店日销售额不低于60万元的概率约为，两店均有达到这一规定的要求． 10分
（2）同解法一． 12分

19．（12分）
如图，在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，．
（1）点在侧棱上，且平面，证明：为的中点；
（2）若，求点到平面的距离．
【命题意图】本题主要考查线面平行、线面垂直、多面体的体积、点面距等基础知识；考查空间想象、运算求解、推理论证等基本能力；考查转化与化归、数形结合等基本思想；取向数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．





解析：（1）设，在正六边形中，易知为中点． 1分
因为平面，平面，平面平面，
所以． 3分
因为为中点，所以为的中点． 4分

（2）设，连结．
在正六边形中，易得，．
又因为，所以． 5分
在正六边形中，，所以，．
又因为，所以．
因为，所以，即． 6分
，，，平面，
所以平面． 8分
平面，平面，所以平面平面，
又因为平面，，平面平面，
所以平面，又因为，所以平面，
又因为平面，所以，易得． 10分
记为点到平面的距离，由， 11分
可得，可得． 12分



20．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【命题意图】本题主要考查函数单调性、零点基础知识；考查运算求解、推理论证基本能力；考查数形结合、分类与整合等基本思想；取向数学运算、逻辑推理等核心素养．
解法一：（1）． 1分
①当时，，所以，所以在上递减． 2分
②当时，由可得，由可得，
所以在上递减，在上递增． 4分
（2）①当时，由（1）可知，在上递减，不可能有两个零点． 5分
②当时，，令，则，所以在上递增，而， 7分
当时，，从而没有两个零点． 8分
当时，，
在上取，，
所以在上有个零点； 10分
在上取，
因为，
所以在上有个零点．综上所述，的取值范围为． 12分
解法二：（1）同解法一． 4分
（2）方程等价于，所以有两个零点等价于有两个解， 5分
令，
则， 7分
令，则，所以在上递增， 8分
而，所以当时，，，当时，，，所以在上递增，在上递减． 10分
，当时，，当时，．若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是． 12分
解法三：（1）同解法一． 4分
（2）问题等价于方程有两个解，即．
令，，
则有两个零点等价于与有两个交点． 6分
因为，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，，当时，． 8分
是斜率为，过定点的直线．
当与相切的时候，设切点，
则有，消去和，可得，
即，即． 10分
令，显然是增函数，且，
于是，此时切点，斜率． 11分
所以当与有两个交点时，，所以的取值范围是． 12分

21．（12分）
已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条切线，切点分别为，记△的外接圆为，不论取何值，试判断以为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【命题意图】本题主要考查曲线的方程、垂直平分线的性质等基础知识；考查运算求解能力；体现数形结合思想；取向逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养．
解析：（1）依题意，得， 1分
假设点的坐标为，则， 3分
化简，得到，所以点的轨迹的方程是. 4分
（2）解法一：假设，，
抛物线方程化成，求导，得， 5分
，中垂线的斜率是中点坐标是
的中垂线方程是， 6分
又即
代入上面式子，得
同理可得的中垂线方程是， 7分
联立方程，得圆心坐标是. 8分
以为直径的圆的方程为 9分
化简整理，得，
即 10分
由的任意性，得，
即，解得， 11分
所以以为直径的圆恒过定点． 12分
解法二：（1）同解法一； 4分
（2）假设，，
抛物线方程化成，求导得， 5分
，中垂线的斜率是中点坐标是，
的中垂线方程是， 6分
又即
代入上面式子，得
同理可得的中垂线方程是， 7分
联立方程，得圆心坐标. 8分
由对称性可知，定点存在且必在轴上，设为点，则
， 9分
则
10分
由的任意性，得，解得， 11分
所以以为直径的圆恒过定点． 12分


（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，将曲线绕点顺时针旋转得到曲线．
（1）求曲线的极坐标方程和直角坐标方程；
（2）过点的直线交曲线于两点，求的最小值．
【命题意图】本题主要考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、参数几何意义基础知识；考查推理论证、运算求解等基本能力；考查数形结合、化归与转化等基本思想；取向数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．
解析：（1）设是曲线上任意一点，
则绕点逆时针旋转得到点 2分
因为在曲线上，所以=1，
化简得曲线的极坐标方程是． 3分
可得，将代入即得
曲线直角坐标方程． 5分
（2）设直线的参数方程为（为参数） 6分
代入直角坐标方程得， 7分
设点对应的参数分别为，则， 8分
由参数的几何意义得， 9分
当且仅当时，取得最小值1． 10分

23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2），，求的取值范围．
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式基础知识；考查运算求解基本能力；考查函数与方程、分类与整合、数形结合等基本思想；取向数学运算核心素养．
解析：（1）当时，
当时，无解，故不成立； 1分
当时，，解得； 3分
当时，恒成立，综上所述，． 5分
（2），等价于， 7分
即， 8分
得． 10分