福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷(三)数学(理)试题
展开福建省2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷
理 科 数 学(三)
(福建省高三毕业班复习教学指导组 福州一中执笔整理)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
- 集合A = { x | x < a},B = { x | 1 < x < 2},若,则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
2. 复数(为虚数单位),则复数的共轭复数为
A. B. C. D.
3. 等于
A.0 B. C. D.2
4.若函数的定义域是,则函数的定义域是
A. B. C. D.
5. 数列的前n项和为,若,则
A.20 B.15 C.10 D.-5
6. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
7.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为
A. B. C. D.
8. 向量a、b、c满足a + b + c = 0,a⊥b,(a-b)⊥c,,则M =
A.3 B. C. D.
9.已知正方体的棱长为,分别为的中点,是线段上的动点,与平面的交点的轨迹长为
A. B. C. D.
10. 已知曲线在处的切线为,曲线在处的切线为,且,则的取值范围是
A. B. C. D.
11. 某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门()发生有害气体泄漏。每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等,约为0.01立方米。阀门的修复工作可在不停产的情况下实施。由于各阀门所处的位置不同,因此修复所需的时间不同,且修复时必须遵从一定的顺序关系,具体情况如下表:
泄露阀门 | |||||
修复时间 (小时) | 11 | 8 | 5 | 9 | 6 |
需先修复 好的阀门 |
在只有一个阀门修复设备的情况下,合理安排修复顺序,泄露的有害气体总量最小为
A.1.14立方米 B. 1.07立方米 C. 1.04立方米 D. 0.39立方米
12. 设是常数,对于,都有
,
则
A. B. C. D
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。
13. _________.
14. 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 种.
15. 如图,将地球近似看作球体。设地球表面某地正午太阳高度角为,为此时太阳直射纬度(当地夏半年取正值,冬半年取负值),为该地的纬度值。已知太阳每年直射范围在南北回归线之间,即。如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于_________.(只需列出式子)
16. 已知椭圆的焦点是,是上(不在长轴上)的两点,且。为与的交点,则的轨迹所在的曲线是______;离心率为_____.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分12分)已知数列,满足,,,的前项和为,前项积为.
(1)证明:是定值;
(2)试比较与的大小。
18. (本小题满分12分)已知圆,设为圆与轴负半轴的交点,过点作圆的弦,并使弦的中点恰好落在轴上。
(1)求点的轨迹的方程;
(2)延长交直线于点,延长交曲线于点,曲线在点处的切线与轴交于点。求证:。
19. (本小题满分12分)如图,组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成,其中是圆锥底面圆心,是圆弧上一点,满足是锐角,.
(1)在平面内过点作平面交于点,并写出作图步骤,但不要求证明;
(2)在(1)中,若是中点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
20. (本小题满分12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒,其余5名健康,需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者,呈阴性即为健康.
(1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名,求抽到感染者的概率;
(2)血液化验确定感染者的方法有:①逐一化验;②分组混合化验:先将血液分成若干组,对组内血液混合化验,若化验结果呈阴性,则该组血液不含病毒;若化验结果呈阳性,则对该组的备份血液逐一化验,直至确定感染者。
(i)采取逐一化验,求所需检验次数的数学期望;
(ii)采取平均分组混合化验(每组血液份数相同),依据所需化验总次数的期望,选择合理的平均分组方案.
21. (本小题满分12分)已知函数,。
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在直线,使得对任意的,,对任意的,,求的取值范围。
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;
(2)已知,曲线与的交点为,求的值。
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知
(1)若,求的最小值;
(2)若,求实数的取值范围.
福建省2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷
(理科数学)参考答案
CBDCA ACDBB CA
13. 14.45 15. 16. 椭圆,
17. (1)证明:依题意,……2分
则,
所以,…………4分
,所以。…………6分
(2),…………8分
因为,,所以单调递增。…………6分
又因为,所以当时,…………10分
所以当时,;
当时,。…………12分
18.
解:(1)设,依题意,满足,消得,
所以。………………5分
(2)设,将代入得,,………………7分
,令得,所以,………………8分
因为,所以点处的切线为,即,
令得,所以.………………10分
所以的斜率
所以。………………12分
19.
解法一:(1)①延长交的延长线于点;····································2分
②连接;·················································3分
③过点作交于点。··········································5分
(2)若是中点,则是中点,又因为,所以,所以,从而.·······················6分
依题意,两两垂直,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,
则,
从而 ,·····························································8分
设平面的法向量为,
则即取,得.·······················································10分
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.····································12分
20. 解:(1) ………………3分
(2)(i)的可能取值是1,2,3,4,5,且分布列如下:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
………………6分
(ii)首先考虑(3,3)分组,所需化验次数为,的可能取值是2,3,
,
分布列如下:
| 2 | 3 |
|
|
………………9分
再考虑(2,2,2)分组,所需化验次数为,的可能取值是2,3,
,
分布列如下:
| 2 | 3 |
|
|
所以按(2,2,2)或(3,3)分组进行化验均可。………………12分
21. 解:(1)………………1分
(i)若,则;………………2分
(ii)若,则由得,由得;
综上:当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减;…………4分
(2)设存在满足题意。
(i)由,即,得,
所以………………5分
(ii)令,
………………6分
①若,则,单调递增,,不合题意; ………………7分
②若,则在上单调递增,在上单调递减,
所以………………8分
所以,即,
由(i)得………………9分
即,
令,,………………10分
,所以单调递增,
又因为,所以在是单调递减,是单调递减,所以,所以 ………………12分
22.解:(1)。………………5分
(2)设对应的直线参数为,
将代入得
,故,………………8分
当在轴上方,
当在轴下方,………………10分
23.解:(1)………………3分
故………………5分
(2)令得,………………7分
此时,
所以。………………10分