福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷（三）数学（理）试题

福建省2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷

理 科 数 学（三）

（福建省高三毕业班复习教学指导组  福州一中执笔整理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A = { x | x < a}，B = { x | 1 < x < 2}，若，则实数a的取值范围是

A． B． C． D．

2. 复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为

A．             B．          C．              D．

3. 等于

A．0        B．       C．        D．2

4．若函数的定义域是，则函数的定义域是

A．       B．       C．       D．

5. 数列的前n项和为，若，则

A．20      B．15      C．10      D.-5 

6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．  B．  C．  D．

7．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为

A.       B.       C.      D.

8. 向量a、b、c满足a + b + c = 0，a⊥b，(a－b)⊥c，，则M =
A．3      B．      C．      D．

9．已知正方体的棱长为，分别为的中点，是线段上的动点，与平面的交点的轨迹长为

A.       B.       C.       D.

10. 已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是

A.    B.    C.    D.

11. 某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（）发生有害气体泄漏。每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米。阀门的修复工作可在不停产的情况下实施。由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：

在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为

A．1.14立方米  B. 1.07立方米   C. 1.04立方米    D. 0.39立方米

12. 设是常数，对于，都有

，

则

A.     B.     C.     D

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13. _________.

14. 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有          种.

15. 如图，将地球近似看作球体。设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值。已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即。如果在北京地区（纬度数约为北纬）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）

16. 已知椭圆的焦点是，是上（不在长轴上）的两点，且。为与的交点，则的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)已知数列，满足，，，的前项和为，前项积为.

（1）证明：是定值；

（2）试比较与的大小。

18. (本小题满分12分)已知圆，设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上。

（1）求点的轨迹的方程；

（2）延长交直线于点，延长交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点。求证：。

19. (本小题满分12分)如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，．

（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；

（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值．

20. (本小题满分12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．

（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；

（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。

（i）采取逐一化验，求所需检验次数的数学期望；

（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案．

21. (本小题满分12分)已知函数，。

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在直线，使得对任意的，，对任意的，，求的取值范围。

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（2）已知，曲线与的交点为，求的值。

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知

（1）若，求的最小值；

（2）若，求实数的取值范围.

福建省2020届高三数学考前冲刺适应性模拟卷

（理科数学）参考答案

CBDCA   ACDBB  CA

13.    14.45    15.   16. 椭圆,

17. （1）证明：依题意，……2分

则，

所以，…………4分

，所以。…………6分

（2），…………8分

因为，，所以单调递增。…………6分

又因为，所以当时，…………10分

所以当时，；

当时，。…………12分

18.

解：（1）设，依题意，满足，消得，

所以。………………5分

（2）设，将代入得，，………………7分

，令得，所以，………………8分

因为，所以点处的切线为，即，

令得，所以.………………10分

所以的斜率

所以。………………12分

19.

解法一：（1）①延长交的延长线于点；····································2分

②连接；·················································3分

③过点作交于点。··········································5分

（2）若是中点，则是中点，又因为，所以，所以，从而.·······················6分

依题意，两两垂直，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，

从而 ，·····························································8分

设平面的法向量为，

则即取，得.·······················································10分

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．····································12分

20. 解：（1） ………………3分

（2）（i）的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：

………………6分

（ii）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，

，

分布列如下：

………………9分

再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，

，

分布列如下：

所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可。………………12分

21. 解：（1）………………1分

（i）若，则；………………2分

（ii）若，则由得，由得；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；…………4分

（2）设存在满足题意。

   （i）由，即，得，

所以………………5分

   （ii）令，

………………6分

①若，则，单调递增，，不合题意；               ………………7分

②若，则在上单调递增，在上单调递减，

所以………………8分

所以，即，

由（i）得………………9分

即，

令，，………………10分

，所以单调递增，

又因为，所以在是单调递减，是单调递减，所以，所以 ………………12分

22．解：（1）。………………5分

（2）设对应的直线参数为，

将代入得

，故，………………8分

当在轴上方，

当在轴下方，………………10分

23．解：（1）………………3分

故………………5分

（2）令得，………………7分

此时，

所以。………………10分