内蒙古第三中学2020届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试卷

北重三中2020届高三模拟考试理科数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.）
1．若集合，则的真子集的个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

2．若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（     ）

A．z的虚部为﹣i B．|z|=2

C．z表示的点在第四象限 D．z的共轭复数为﹣1﹣i

3．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（     ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

4．已知，且，，则（    ）

A．﹣1 B．  C．0           D．1

5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的值为（    ）

A．80 B．36 

C．448 D．192

6．对于实数m，“”是“方程1表示椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．设圆关于直线对称的圆为，则圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体的体积为（    ）

A． B．              C．  D．

8．已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

9．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（    ）

A．36π     B．64π

C．81π         D．100π

10．已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（    ）

A．8               B．4                 C．2             D．1

11．在中，，则（     ）

A． B．   C． D．

12．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（      ）

A． B．      C．    D．

二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 

13．已知，，与的夹角为，则______．

14．若，则二项式的展开式中含项的系数是_________.

15．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知，）

16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小．

18．甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪元，每销售一件产品提成元；乙公司规定底薪元，日销售量不超过件没有提成，超过件的部分每件提成元．

（I）请将两家公司各一名推销员的日工资（单位：元）分别表示为日销售件数的函数关系式；

（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为，乙公司该推销员的日工资为（单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：

某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

19．已知为等差数列的前项和，且满足，．

（1）求数列的通项公式和前项和；

（2）记，求数列{}的前项和．

20．已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，为定值．

21．已知函数，.

（1）当时，求曲线与的公切线方程：

（2）若有两个极值点，，且，求实数a的取值范围.

（选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线的极坐标方程；

（2）设动直线与，分别交于点、，求的最大值．

23．已知的最小值为．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知，，且，求证：．

北重三中2020届高三模拟考试理科数学答案

参考答案

1．A【详解】 ，，

，所以的真子集的个数为，故选A。

2．C【详解】∵,

∴z的虚部为；|z|；z表示的点的坐标为,在第四象限；z的共轭复数为.

3．B【解析】因为，且==，

所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B

4．A【详解】解：根据题意，且，，

则，解可得，则，

则.故选：A

5．D【详解】初始：v=1， k=1；第一步：v=1×2+21=4，k=2；

第二步：v=4×2+22=12，k=3；第三步：v=12×2+23=32，k=4；

第四步：v=32×2+24=80，k=5；第五步：v=80×2+25=192，k=6；

因为此时,故停止循环,输出v的值为192.故选：D.

6．B【详解】由“方程1表示椭圆“可得,解得且,

所以“”是 “方程1表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.

7．D【详解】解：圆的标准方程为，

则圆心为，半径为，设圆的圆心为，

则解得，则圆为，其关于对称，

圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体为球，半径为，

所以该球的体积为.故选：D.

8．A【详解】由题意得：

    为奇函数，图象关于原点对称

可排除又当时，，可排除本题正确选项：

9．C【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，

如图所示：

该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为

所以，解得．

设四棱锥的外接球的半径为r，所以，解得，

所以，故选：C

10．B【解析】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B.

11．B【详解】设

所以，

所以，

所以，

得，所以，故选B

12．C【详解】由题意知函数的定义域为，

.

因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.

令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.故选：C

13．【详解】解：，与的夹角为，

，，．

故答案为：．

14．

【详解】，所以二项式，其展开式的通项公式为，令，则，所以含项的系数是.故答案为：

15．【详解】解：设需要至少布置门高炮，

某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，

要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，

，解得，，需要至少布置11门高炮．故答案为：．

16．或

【详解】，

整理得，

解得或（舍去），或.

又∵点P是的重心，

，整理得.

当时，，得，

此时，解得；

当时，，得，

此时，解得.

故答案为：或

17．（1）见解析 （2）【详解】

（1）

（2）以A为原点，如图所示建立直角坐标系

，，

设平面FAE法向量为，则

，，

18．【解析】分析：(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式，而乙公司是分段函数的关系式，由此解得；(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列，从而可分别求得数学期望，进而可得结论.

详解：(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资(单位:元) 与销售件数的关系式为:.

乙公司一名推销员的日工资(单位: 元) 与销售件数的关系式为:

(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为

记乙公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为

∴

∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司.

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值

19答案：（1），

，；

（2）

20．（1）（2）

【详解】解：（1）椭圆过点,∴,①

又因为直线的斜率之积为,故.

又.即,②

联立①②得．

∴所求的椭圆方程为．

（2）方法1：由（1）知,．由题意可设,

令x=m,得．又设

由整理得：．

∵,∴,,

所以,

∴,

要使与k无关,只需,此时恒等于4.

∴

方法2：:设,则,令x=m,得,

∴

由有,

所以,

要使与无关,只须,此时.

∴

20．（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，，

∵点Q在物线C：上，∴设，

，∴，解得，∴抛物线C的方程为：；

（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x轴上任意一点A（不与点重合），都可使得x轴平分；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，

设，，联立方程，

消去y得：，，（*），

假设在x轴上是否存在一点，使得x轴平分，

∴，∴，∴，

又，，∴，

把（*）式代入上式化简得：，

∴，∴点，综上所求，在x轴上存在一点，使得x轴平分．

21．（1）；（2）

【详解】解：（1）时，，

设曲线上的切点为，则切线方程为，

设曲线上的切点为，则切线方程为

由两条切线重合得 ，则 ，

所以，公切线方程为；

（2），，设其零点为，，

，，

令，可得，则

令，，

又令，，则单调递减，

，，单调递减，

，易知， ，

令，，则在上递增，

22【详解】解：（1）直线的直角坐标方程为,

将,代入方程得

,即,

（2）设直线的极坐标方程为,设,

则,

由,有,

当时,的最大值为．

23．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【详解】

（Ⅰ）由题意，函数，

可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以函数的最小值为，

又因为函数的最小值为，可得，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ），，且，

要证，只要证，即证，

即证，即证，

即证，即证，

显然，当且仅当时取等号．所以．