内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
展开理科数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
求解二次不等式可得：，
求解对数不等式可得：，
结合交集的定义有：.
本题选择A选项.
2.复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.
【详解】由于复数对应复平面上的点，，则，
，，因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
3.正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）
A. 35 B. 36 C. 45 D. 54
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.
【详解】正项等差数列的前项和，
，
，
解得或（舍），
，故选C.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
4.在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，用表示出与，求出的值即可.
【详解】解：根据题意，设，则
，
又，
，
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.
5.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A. 134 B. 67 C. 182 D. 108
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
6.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．
【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，
第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：，
此时退出循环，根据判断框内为跳出循环语句，，故选D．
【点睛】题主要考查程序框图循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
7.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数的解析式，由函数为偶函数得出的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，
若函数为偶函数，则，解得，
当时，.
因此，“”是“是偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
8.已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.
【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；
因此，由得；
又在上单调递减，则在上单调递增；
所以，当即时，由得，所以，
解得；
当即时，由得，所以，
解得；
因此，的解集是.
【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.
9.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.
【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.
【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.
10.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为
A. 48 B. 72 C. 90 D. 96
【答案】D
【解析】
因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种
故答案为96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．
11.已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
不妨设过点F2与双曲线一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，
∴＞3，即b2＞3a2，
∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．
则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
故选A．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值范围即可
【详解】可求得直线关于直线的对称直线为，
当时，，，当时，，则当时，，单减，当时，，单增；
当时，，，当，,当时，单减，当时，单增；
根据题意画出函数大致图像，如图：
当与（）相切时，得，解得；
当与（）相切时，满足，
解得，结合图像可知，即，
故选：A
【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题
二、填空题（每题5分，共20分）
13.在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.
【答案】112
【解析】
【分析】
由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．
【详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，
通项公式为，令，求得，
可得二项展开式常数项等于，
故答案为112．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14.设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由，解得，
.
所以，当时，取得最大值，
对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查等差数列前项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.
15.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________．
【答案】2
【解析】
【分析】
如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.
【详解】
由题得,.
因为.
所以,
过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,
设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，
所以|AE|=n-m，因为,
所以|AB|=3(n-m)，
所以3(n-m)=n+m，
所以
所以.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16.在中，，是的角平分线，设，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，，由，用面积公式表示面积可得到，利用，即得解.
【详解】设，，，
由得：
，
化简得，
由于，
故.
故答案为：
【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.
三、解答题：
17.设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)若 ，求数列的前n项和，并求证：.
【答案】（1），；（2）详见解析.
【解析】
【详解】（1）当时，，当时，，
当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，
∴，又∵，
∴或（舍去），
∴；
（2）由（1）可得：，
∴
，显然数列是递增数列，
∴，即.）
18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由平面，可得，又因为是的中点，即得证；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设，计算平面的法向量，由直线与平面所成角的大小为30°，列出等式，即得解.
【详解】（Ⅰ）如图，
连接交于点，连接，
则是平面与平面的交线，
因为平面，
故，
又因为是的中点，
所以是中点，
故.
（Ⅱ）由条件可知，，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，故取
因为直线与平面所成角的大小为30°
所以，
即，
解得，故此时.
【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.
19.在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；
设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值．
【答案】(Ⅰ) 曲线是焦点在轴上的椭圆；(Ⅱ)．
【解析】
试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以，解得．
试题解析：
(Ⅰ)直线的参数方程为.
曲线的直角坐标方程为，即，
所以曲线是焦点在轴上的椭圆.
(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为
得，
，
得，
，
20.[选修4-5：不等式选讲]:已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）当时，，原不等式可化为，分类讨论即可求得不等式的解集；
（2）由题意得，的最小值为，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值．
【详解】（1）当时，，原不等式可化为，①
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时，
综上，原不等式的解集为.
（2）由题意得， ，
因为的最小值为，所以，由，得，
所以 ，
当且仅当，即，时，的最小值为.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
