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江西省麻山中学2020届高三高考数学仿真模拟冲刺卷（二）
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2020届高考数学仿真模拟冲刺卷(二)
注意事项：
1.本卷仿真文科数学，题序与高考题目序号保持一致，考试时间为120分钟，满分为150分。
2.请将答案填写在答题卷上。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则A∩B＝( )
A．{x|－2
2．已知复数z满足(z－i)·(1＋i)＝2－i，则·z＝( )
A．1 B. C. D.
3．已知p：∃x0∈R,x
C．∀x∈R,3x≥x3 D．∃x0∈R,≥x
4．已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln－1，若f(a)＝1，则f(－a)＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
5．执行如图所示的程序框图，假如输入的S，k的值分别为1,2，那么输出的S＝( )
A．1＋ B. C．4 D.
6．某班全体学生某次测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若不低于80分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．40 B．45
C．50 D．60
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝－对称
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为( )
A．(0,4) B．[2,4)
C．[1,4) D．(2,4]
9．已知x，y满足约束条件若的最大值为2，则m的值为( )
A．4 B．5
C．8 D．9
10．已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圆(x－)2＋(y－1)2＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为( )
A．(0,3] B．[1,3]
C．[2,3] D．[1,2]
11．如图，已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
12．已知函数f(x)＝，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B.
C. D．(1，e)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.
14．等差数列{an}中，a1＝1，a9＝21，则a3与a7等差中项的值为________．
15．已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足||＝||＝||，则|·|＝________.
16．在三棱锥P－ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA＝PB＝2，PA⊥BC，则该三棱锥外接球的表面积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
18．(12分)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图．
(1)求a的值，并计算完成年度任务的人数；
(2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．
19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，∠PAB＝∠PAD＝120°，E为PD的中点，AE⊥EC.
(1)求证：PB∥平面EAC；
(2)求三棱锥B－ACE的体积．
20．(12分)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，圆O：x2＋y2＝2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.
(1)求椭圆C的方程．
(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|·|PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
21．(12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋1)(e为自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若g(x)＝f(x)－ax，a∈R，试求函数g(x)极小值的最大值．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求C1，C2交点的直角坐标；
(2)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．
23．[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数f(x)＝|x＋1|.
(1)若f(x)＋2x>2，求实数x的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(ax)(a>1)，若g(x)的最小值为，求a的值．
仿真模拟冲刺卷(二)
1．答案：A
解析：通解 解不等式x2－3x＋2≥0，得x≤1或x≥2，则A＝{x|x≤1或x≥2}．解不等式log3(x＋2)<1，得－2
2．答案：B
解析：由条件，得z＝＋i＝＋i＝－i＋i＝－i，则·z＝|z|2＝2＋2＝，故选B项．
3．答案：C
解析：因为特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀x∈R,3x≥x3，故选C项．
4．答案：D
解析：解法一：由题意，f(a)＋f(－a)＝(ea＋e－a)ln－1＋(ea＋e－a)ln－1＝(ea＋e－a)－2＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－3，故选D项．
解法二：令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln，则g(－x)＝(e－x＋ex)ln＝－(ex＋e－x)ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故选D项．
5．答案：C
解析：初始值：S＝1，k＝2；第1步循环结果：S＝1＋，k＝3；第2步循环结果：S＝1＋＋，k＝4；…；第15步循环结果：S＝1＋＋＋…＋，k＝17>16，退出循环．此时输出的结果为S＝1＋＋＋…＋＝1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)＝4，故选C项．
6．答案：C
解析：设该班的学生人数为n.由题意知，不低于80分的频率为0.015×20＝0.3，则＝0.3，∴n＝50.故选C项．
7．答案：B
解析：由题意，知f(x)的最小正周期T＝2×＝，所以ω＝＝4，所以f(x)＝sin(4x＋φ)，此函数图象平移后所得图象对应的函数为y＝sin＝sin4x＋＋φ，当函数y＝sin的图象关于y轴对称时，必有＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，结合|φ|<，得φ＝－，所以由4x－＝nπ(n∈Z)，得x＝＋(n∈Z)，当n＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象的一个对称中心为，故选B项．
8．答案：B
解析：在△ABC中，由三角函数的定义知acos B＋bcos A＝c，结合正弦定理和已知，得＝，即a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理，得cos C＝＝，则C＝60°，所以c2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－3×2＝＝4，所以c≥2.又c
解析：由题意知x≥1，y≥x，则m≥x＋y≥2，作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为表示定点P(－1,0)与平面区域内的点(x，y)连线的斜率，由图可知，当直线经过平面区域的顶点A(1，m－1)时，直线的斜率取得最大值＝2，解得m＝5.
10．答案：B
解析：以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，则由题意知圆(x－)2＋(y－1)2＝1与圆x2＋y2＝a2有公共点，则|a－1|≤≤a＋1，解得1≤a≤3，故选B项．
11．答案：B
解析：设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，则由|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF′|，BF⊥AC知四边形AFBF′为矩形，设|AF|＝m，则|AF′|＝m＋2a，|AC|＝|AF|＋2|AF|＝3|AF|＝3m，|FC|＝2|AF|＝2m，则|F′C|＝|FC|＋2a＝2m＋2a，则在Rt△AF′C中，|F′C|2＝|AF′|2＋|AC|2，即(2m＋2a)2＝(m＋2a)2＋(3m)2，解得m＝a.在Rt△AF′F中，|F′F|2＝|AF′|2＋|AF|2，即4c2＝(m＋2a)2＋m2，即4c2＝2＋2，整理，得＝，所以双曲线的离心率e＝＝，故选B项．
12．答案：C
解析：因为f′(x)＝＝，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝，且当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，且f(x)>0，由此可作出函数f(x)的简图，如图所示．令t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1，由题意与图可知函数g(t)＝t2＋mt＋m－1有一个零点必在内，另一个零点必为或在(－∞，0]内．当g(t)的一个零点为，另一个零点在内时，此不等式组无解；当g(t)的一个零点在(－∞，0]内，另一个零点在内时，
或解得1－
解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2 017)＝f(2 017)，又f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为2的函数，∴f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(0)，又当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，∴f(1)＝e－1，f(0)＝0，
∴f(－2 017)＋f(2 018)＝e－1.
14．答案：11
解析：解法一 由等差数列的性质，得a3与a7等差中项的值为＝＝11.
解法二 由已知得等差数列{an}的公差d＝，所以a3与a7等差中项的值为＝＝11.
解法三 由已知得等差数列{an}的公差d＝，所以a3与a7等差中项的值为＝＝1＋4×＝11.
15．答案：
解析：∵||＝||＝||，∴点O为△ABC的外心，设BC的中点为D，连接OD，AD，则⊥，＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·，∵＝－(＋)，＝－，∴·＝(2－2)＝－，∴|·|＝.
16．答案：12π
解析：∵侧面PAB是直角三角形，且PA＝PB＝2，∴∠APB＝90°，AB＝2，∴PA⊥PB，∵PA⊥BC，PB∩BC＝B，∴PA⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴PA⊥PC.∵底面ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝2，∴PC＝2.在△PBC中，PB2＋PC2＝BC2，∴∠BPC＝90°，故PB⊥PC.以P为顶点，PA，PB，PC为棱构造一个正方体，则该正方体的体对角线为三棱锥P－ABC外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R＝2，R＝，∴该三棱锥外接球的表面积为12π.
17．解析：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即sin B＝2sin Bcos A．(4分)
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，
又A为三角形的内角，所以A＝.(6分)
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，
所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.(12分)
18．解析：(1)∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，∴a＝0.03，
∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48.(4分)
(2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2，
第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8，
第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9，
第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，
第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3.(8分)
(3)在(2)中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3.
从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事件，
获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个，
故所求概率P＝＝.(12分)
19．解析：(1)如图，连接BD，交AC于点O，连接EO.
∵E为PD的中点，O为BD的中点，(3分)
∴EO为△PBD的中位线，
∴PB∥EO，
又EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
∴PB∥平面EAC.(5分)
(2)在△PAB中，PA＝AB＝2，∠PAB＝120°，
由PB2＝PA2＋AB2－2PA·ABcos 120°＝12，解得PB＝2.(6分)
∴EO＝.
∵AE⊥EC，且O为AC的中点，
∴AO＝OE＝，AC＝2EO＝2.
在△ABO中，BO＝＝1.(8分)
在平面PAD内，作PF⊥AD，交DA的延长线于F.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PF⊥平面ABCD，即PF的长为点P到平面ABCD的距离．
∵点E为PD的中点，
∴三棱锥E－ABC的体积是三棱锥P－ABC体积的一半．(10分)
在△PFA中，PF＝PAsin 60°＝2×＝，
∴V三棱锥B－ACE＝V三棱锥E－ACB＝V三棱锥P－ABC＝×S△ABC×＝.(12分)
20．解析：(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为知，b＝c，a＝b，
则椭圆的方程为＋＝1.
易求得A(，0)，则点(，)在椭圆上，所以＋＝1，
解得，所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x＝，由(1)知，M(，)，N(，－)，＝(，)，＝(，－)，·＝0，∴OM⊥ON.
当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝，即m2＝2(k2＋1)．
联立直线和椭圆的方程，得，消去y，得x2＋2(kx＋m)2＝6，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，则.
∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝
＝＝＝0，
∴OM⊥ON.
综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，都有OM⊥ON.
在Rt△OMN中，由△OMP与△NOP相似，可得|PM|·|PN|＝|OP|2＝2，为定值．(12分)
21．解析：(1)易知x>－1，且f′(x)＝ex－.令h(x)＝ex－，
则h′(x)＝ex＋>0，∴函数h(x)＝ex－在(－1，＋∞)上单调递增，且h(0)＝f′(0)＝0.
可知，当x∈(－1,0)时，h(x)＝f′(x)<0，f(x)＝ex－ln(x＋1)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，h(x)＝f′(x)＞0，f(x)＝ex－ln(x＋1)单调递增．
∴函数f(x)的单调递减区间是(－1,0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(5分)
(2)∵g(x)＝f(x)－ax＝ex－ln(x＋1)－ax，∴g′(x)＝f′(x)－a.
由(1)知，g′(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
当x→－1时，g′(x)→－∞；当x→＋∞时，g′(x)→＋∞，则g′(x)＝0有唯一解，记为x0.
可知，当x∈(－1，x0)时，g′(x)<0，g(x)＝ex－ln(x＋1)－ax单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)＝ex－ln(x＋1)－ax单调递增．
∴函数g(x)在x＝x0处取得极小值，即g(x0)＝ex0－ln(x0＋1)－ax0，且x0满足ex0－＝a.
∴g(x0)＝(1－x0)ex0－ln(x0＋1)＋1－.
令φ(x)＝(1－x)ex－ln(x＋1)＋1－，则φ′(x)＝－x.
可知，当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
∴φ(x)max＝φ(0)＝1.
∴函数g(x)极小值的最大值为1.(12分)
22．解析：(1)C1：x2＋y2＝1，C2：ρ＝2cos θ，则ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x.
联立，得解得
∴所求交点的坐标为，.(5分)
(2)设B(ρ，θ)，则ρ＝2cos θ，
∴△AOB的面积S＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝·＝
＝，
∴当θ＝时，Smax＝2＋.(10分)
23．解析：(1)f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x⇔或⇔x>，
∴实数x的取值范围是.(5分)
(2)∵a>1，∴－1<－，
g(x)＝
易知函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，则g(x)min＝g＝1－.
∴1－＝，解得a＝2.(10分)
注意事项：
1.本卷仿真文科数学，题序与高考题目序号保持一致，考试时间为120分钟，满分为150分。
2.请将答案填写在答题卷上。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则A∩B＝( )
A．{x|－2
2．已知复数z满足(z－i)·(1＋i)＝2－i，则·z＝( )
A．1 B. C. D.
3．已知p：∃x0∈R,
C．∀x∈R,3x≥x3 D．∃x0∈R,≥x
4．已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln－1，若f(a)＝1，则f(－a)＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
5．执行如图所示的程序框图，假如输入的S，k的值分别为1,2，那么输出的S＝( )
A．1＋ B. C．4 D.
6．某班全体学生某次测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若不低于80分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．40 B．45
C．50 D．60
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝－对称
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为( )
A．(0,4) B．[2,4)
C．[1,4) D．(2,4]
9．已知x，y满足约束条件若的最大值为2，则m的值为( )
A．4 B．5
C．8 D．9
10．已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圆(x－)2＋(y－1)2＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为( )
A．(0,3] B．[1,3]
C．[2,3] D．[1,2]
11．如图，已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
12．已知函数f(x)＝，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B.
C. D．(1，e)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.
14．等差数列{an}中，a1＝1，a9＝21，则a3与a7等差中项的值为________．
15．已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足||＝||＝||，则|·|＝________.
16．在三棱锥P－ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA＝PB＝2，PA⊥BC，则该三棱锥外接球的表面积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
18．(12分)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图．
(1)求a的值，并计算完成年度任务的人数；
(2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．
19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，∠PAB＝∠PAD＝120°，E为PD的中点，AE⊥EC.
(1)求证：PB∥平面EAC；
(2)求三棱锥B－ACE的体积．
20．(12分)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，圆O：x2＋y2＝2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.
(1)求椭圆C的方程．
(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|·|PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
21．(12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋1)(e为自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若g(x)＝f(x)－ax，a∈R，试求函数g(x)极小值的最大值．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求C1，C2交点的直角坐标；
(2)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．
23．[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数f(x)＝|x＋1|.
(1)若f(x)＋2x>2，求实数x的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(ax)(a>1)，若g(x)的最小值为，求a的值．
仿真模拟冲刺卷(二)
1．答案：A
解析：通解 解不等式x2－3x＋2≥0，得x≤1或x≥2，则A＝{x|x≤1或x≥2}．解不等式log3(x＋2)<1，得－2
2．答案：B
解析：由条件，得z＝＋i＝＋i＝－i＋i＝－i，则·z＝|z|2＝2＋2＝，故选B项．
3．答案：C
解析：因为特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀x∈R,3x≥x3，故选C项．
4．答案：D
解析：解法一：由题意，f(a)＋f(－a)＝(ea＋e－a)ln－1＋(ea＋e－a)ln－1＝(ea＋e－a)－2＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－3，故选D项．
解法二：令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln，则g(－x)＝(e－x＋ex)ln＝－(ex＋e－x)ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故选D项．
5．答案：C
解析：初始值：S＝1，k＝2；第1步循环结果：S＝1＋，k＝3；第2步循环结果：S＝1＋＋，k＝4；…；第15步循环结果：S＝1＋＋＋…＋，k＝17>16，退出循环．此时输出的结果为S＝1＋＋＋…＋＝1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)＝4，故选C项．
6．答案：C
解析：设该班的学生人数为n.由题意知，不低于80分的频率为0.015×20＝0.3，则＝0.3，∴n＝50.故选C项．
7．答案：B
解析：由题意，知f(x)的最小正周期T＝2×＝，所以ω＝＝4，所以f(x)＝sin(4x＋φ)，此函数图象平移后所得图象对应的函数为y＝sin＝sin4x＋＋φ，当函数y＝sin的图象关于y轴对称时，必有＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，结合|φ|<，得φ＝－，所以由4x－＝nπ(n∈Z)，得x＝＋(n∈Z)，当n＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象的一个对称中心为，故选B项．
8．答案：B
解析：在△ABC中，由三角函数的定义知acos B＋bcos A＝c，结合正弦定理和已知，得＝，即a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理，得cos C＝＝，则C＝60°，所以c2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－3×2＝＝4，所以c≥2.又c
解析：由题意知x≥1，y≥x，则m≥x＋y≥2，作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为表示定点P(－1,0)与平面区域内的点(x，y)连线的斜率，由图可知，当直线经过平面区域的顶点A(1，m－1)时，直线的斜率取得最大值＝2，解得m＝5.
10．答案：B
解析：以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，则由题意知圆(x－)2＋(y－1)2＝1与圆x2＋y2＝a2有公共点，则|a－1|≤≤a＋1，解得1≤a≤3，故选B项．
11．答案：B
解析：设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，则由|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF′|，BF⊥AC知四边形AFBF′为矩形，设|AF|＝m，则|AF′|＝m＋2a，|AC|＝|AF|＋2|AF|＝3|AF|＝3m，|FC|＝2|AF|＝2m，则|F′C|＝|FC|＋2a＝2m＋2a，则在Rt△AF′C中，|F′C|2＝|AF′|2＋|AC|2，即(2m＋2a)2＝(m＋2a)2＋(3m)2，解得m＝a.在Rt△AF′F中，|F′F|2＝|AF′|2＋|AF|2，即4c2＝(m＋2a)2＋m2，即4c2＝2＋2，整理，得＝，所以双曲线的离心率e＝＝，故选B项．
12．答案：C
解析：因为f′(x)＝＝，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝，且当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，且f(x)>0，由此可作出函数f(x)的简图，如图所示．令t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1，由题意与图可知函数g(t)＝t2＋mt＋m－1有一个零点必在内，另一个零点必为或在(－∞，0]内．当g(t)的一个零点为，另一个零点在内时，此不等式组无解；当g(t)的一个零点在(－∞，0]内，另一个零点在内时，
或解得1－
解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2 017)＝f(2 017)，又f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为2的函数，∴f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(0)，又当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，∴f(1)＝e－1，f(0)＝0，
∴f(－2 017)＋f(2 018)＝e－1.
14．答案：11
解析：解法一 由等差数列的性质，得a3与a7等差中项的值为＝＝11.
解法二 由已知得等差数列{an}的公差d＝，所以a3与a7等差中项的值为＝＝11.
解法三 由已知得等差数列{an}的公差d＝，所以a3与a7等差中项的值为＝＝1＋4×＝11.
15．答案：
解析：∵||＝||＝||，∴点O为△ABC的外心，设BC的中点为D，连接OD，AD，则⊥，＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·，∵＝－(＋)，＝－，∴·＝(2－2)＝－，∴|·|＝.
16．答案：12π
解析：∵侧面PAB是直角三角形，且PA＝PB＝2，∴∠APB＝90°，AB＝2，∴PA⊥PB，∵PA⊥BC，PB∩BC＝B，∴PA⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴PA⊥PC.∵底面ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝2，∴PC＝2.在△PBC中，PB2＋PC2＝BC2，∴∠BPC＝90°，故PB⊥PC.以P为顶点，PA，PB，PC为棱构造一个正方体，则该正方体的体对角线为三棱锥P－ABC外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R＝2，R＝，∴该三棱锥外接球的表面积为12π.
17．解析：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即sin B＝2sin Bcos A．(4分)
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，
又A为三角形的内角，所以A＝.(6分)
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，
所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.(12分)
18．解析：(1)∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，∴a＝0.03，
∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48.(4分)
(2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2，
第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8，
第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9，
第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，
第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3.(8分)
(3)在(2)中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3.
从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事件，
获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个，
故所求概率P＝＝.(12分)
19．解析：(1)如图，连接BD，交AC于点O，连接EO.
∵E为PD的中点，O为BD的中点，(3分)
∴EO为△PBD的中位线，
∴PB∥EO，
又EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
∴PB∥平面EAC.(5分)
(2)在△PAB中，PA＝AB＝2，∠PAB＝120°，
由PB2＝PA2＋AB2－2PA·ABcos 120°＝12，解得PB＝2.(6分)
∴EO＝.
∵AE⊥EC，且O为AC的中点，
∴AO＝OE＝，AC＝2EO＝2.
在△ABO中，BO＝＝1.(8分)
在平面PAD内，作PF⊥AD，交DA的延长线于F.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PF⊥平面ABCD，即PF的长为点P到平面ABCD的距离．
∵点E为PD的中点，
∴三棱锥E－ABC的体积是三棱锥P－ABC体积的一半．(10分)
在△PFA中，PF＝PAsin 60°＝2×＝，
∴V三棱锥B－ACE＝V三棱锥E－ACB＝V三棱锥P－ABC＝×S△ABC×＝.(12分)
20．解析：(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为知，b＝c，a＝b，
则椭圆的方程为＋＝1.
易求得A(，0)，则点(，)在椭圆上，所以＋＝1，
解得，所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x＝，由(1)知，M(，)，N(，－)，＝(，)，＝(，－)，·＝0，∴OM⊥ON.
当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝，即m2＝2(k2＋1)．
联立直线和椭圆的方程，得，消去y，得x2＋2(kx＋m)2＝6，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，则.
∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝
＝＝＝0，
∴OM⊥ON.
综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，都有OM⊥ON.
在Rt△OMN中，由△OMP与△NOP相似，可得|PM|·|PN|＝|OP|2＝2，为定值．(12分)
21．解析：(1)易知x>－1，且f′(x)＝ex－.令h(x)＝ex－，
则h′(x)＝ex＋>0，∴函数h(x)＝ex－在(－1，＋∞)上单调递增，且h(0)＝f′(0)＝0.
可知，当x∈(－1,0)时，h(x)＝f′(x)<0，f(x)＝ex－ln(x＋1)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，h(x)＝f′(x)＞0，f(x)＝ex－ln(x＋1)单调递增．
∴函数f(x)的单调递减区间是(－1,0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(5分)
(2)∵g(x)＝f(x)－ax＝ex－ln(x＋1)－ax，∴g′(x)＝f′(x)－a.
由(1)知，g′(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
当x→－1时，g′(x)→－∞；当x→＋∞时，g′(x)→＋∞，则g′(x)＝0有唯一解，记为x0.
可知，当x∈(－1，x0)时，g′(x)<0，g(x)＝ex－ln(x＋1)－ax单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)＝ex－ln(x＋1)－ax单调递增．
∴函数g(x)在x＝x0处取得极小值，即g(x0)＝ex0－ln(x0＋1)－ax0，且x0满足ex0－＝a.
∴g(x0)＝(1－x0)ex0－ln(x0＋1)＋1－.
令φ(x)＝(1－x)ex－ln(x＋1)＋1－，则φ′(x)＝－x.
可知，当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
∴φ(x)max＝φ(0)＝1.
∴函数g(x)极小值的最大值为1.(12分)
22．解析：(1)C1：x2＋y2＝1，C2：ρ＝2cos θ，则ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x.
联立，得解得
∴所求交点的坐标为，.(5分)
(2)设B(ρ，θ)，则ρ＝2cos θ，
∴△AOB的面积S＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝·＝
＝，
∴当θ＝时，Smax＝2＋.(10分)
23．解析：(1)f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x⇔或⇔x>，
∴实数x的取值范围是.(5分)
(2)∵a>1，∴－1<－，
g(x)＝
易知函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，则g(x)min＝g＝1－.
∴1－＝，解得a＝2.(10分)
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