江苏省宜兴中学2020届高三模拟试卷（6）数学试题

宜兴中学高三年级数学模拟（六）

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据，，…，的方差，其中

柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．

锥体的体积，其中是椎体的底面积，是椎体的高．

一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上

1．已知，，则________．

2．已知，则________．

3．已知，为实数，为虚数单位，且，则________．

4．已知数列满足：，，则________．

5．已知为偶函数，且．当时，，若，，则________．

6．已知随机变量，当方差取到最大值时，在的展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为________．

7．已知点为圆：上的动点，过原点的直线与曲线：交于，两点，则的最大值为________．

8．已知轴为曲线的切线，则的值为________．

9．在直线上任取一点，过点向圆做两条切线，其切点分别为，，则直线经过一个定点，该定点坐标为________．

10．已知正三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿线段折起，求使四棱锥体积最大时，四棱锥的外接球的体积为________．

11．已知，则的最小值________．

12．________．

13．已知函数，，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为________．

14．已知点，在内，且，则________．

二．解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．在中，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若为的中点，求的长度．

16．如图所示，正四棱锥中，底面的边长为2，侧棱长为，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为上的一点，且，则为何值时，平面?并求此时三棱锥的体积．

17．如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知，米，Q到直线OM，ON的距离分别为300米，米．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．

（Ⅰ）求有轨观光直路AB的长；

（Ⅱ）已知在景点Q的正北方600米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径（在变化），且t分钟时，米．当喷泉表演开始时，一观光车（大小忽略不计）正从休息区B沿（Ⅰ）中的轨道以米/分钟的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．

18．已知圆：，抛物线C：的焦点为，过的直线与抛物线C交于A，B两点，过F且与l垂直的直线与圆有交点．

（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；

（Ⅱ）求面积的取值范围．

19．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当函数有两个极值点，，且．证明：．

20．设等差数列的首项为0，公差为，；等差数列的首项为0，公差为b，．由数列和构造数表，与数表．

记数表中位于第行第列的元素为，其中．．

记数表中位于第行第列的元素为，其中．

如：，．

（Ⅰ）设，，请计算，，；

（Ⅱ）设，，试求，的表达式（用，表示），并证明：对于整数，若不属于数表，则属于数表.

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】：本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4—2：矩阵与变换]

已知矩阵，．

（Ⅰ）求AB；

（Ⅱ）求．

B．【选修4—4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

（Ⅱ）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，满足，求面积的最大值与最小值．

C．【选修4—5：不等式选讲】

已知，，为正实数，满足．证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

【必做题】第22题、第23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．如图，在三棱柱中，，平面，，，分别为，中点．

（Ⅰ）求直线DE与平面所成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角的大小．

23．设N为正整数，区间（其中，，，，）同时满足下列两个条件：

①对任意，存在k使得；

②对任意，存在，使得（其中，2，，，，，N）．

（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）

（Ⅱ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由．

数学Ⅰ答案

一．填空题

1．   2．   3．1   4．64   5．1   6．   7．7

8．    9．    10．   11．   12．

13．   14．

二．解答题

15．解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得：

．

∴．

在中，由正弦定理得：．

（Ⅱ）∵∴为钝角.

．

．

∴

16．解：（Ⅰ）

在中，∵，

连接BD，设BD与AC交于点O，连接OE．

∵，分别是PD，BD的中点，∴．

又∵平面，平面AEC

∴平面AEC．

（Ⅱ）连接PO，显然，，

∴平面PAC，又∵平面PAC

∴．当时，平面BDF．

在中，，，

，

∴，．

此时，．

17．解：（Ⅰ）

以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，

由题意知，，．

直线方程为    （1）

由，得，故．

∴直线的方程为    （2）

联立（1）（2），得，即．

米．

故有轨观光直路的长米．

（Ⅱ）由题意知，，

∴．

若喷泉不会喷洒到观光车上，则满足对恒成立．

即．

当时，上式成立；

当时，，，

当且仅当时取等号．

∵，恒成立．

故观光车在行驶途中不会被喷泉喷洒到．

18．解：（Ⅰ）由题意知，l的斜率存在且不为0．

设l：，则l′：．

∴得：，

直线的斜率的取值范围为．

（Ⅱ）设，，

l直线方程与抛物线方程联立，得：．

由韦达定理，

∴．

设点O到直线l的距离为．

由．

∵  ∴

∴．

所以面积的取值范围是．

19．解：（Ⅰ）当时，．

∴．

，．

．

∴在处的切线方程．

（Ⅱ）的定义域．

；

①当时，即

，此时在单调递减；

②当时，即或，

（i）当时，

∴在，单调递减，

在单调递增．

（ii）当时，

∴在单调递减；

综上所述，当时，在单调递减；

当时，在，单调递减，

在单调递增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有两个极值点，，

且满足：

由题意知，．

∴

令．

则.

在单调递增，在单调递减．

∴．

即．

20．解：（Ⅰ）由题意，数列的通项公式为，

数列的通项公式为．

得，，则，．

得，，则．

（Ⅱ）证明：已知，，得数列的通项公式为，

数列的通项公式为．

所以，，，．

所以，，

，，．

所以，若，则存在，，使.

若，则存在，，，使．

因此，对于整数，考虑集合，

即．

下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．

反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，

则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6．

又因为集合中共有7个元素，

所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，

不妨设为，，其中，，．

则这两个元素的差为7的倍数，即．

所以，与矛盾．

所以假设不成立，即原命题成立．

即集合中至少有一元素是7的倍数，

不妨设该元素为，，．

则存在，使，，，

即，，，．

由已证可知，若，则存在，，使．

而，所以为负整数，设，则，

且，，，．

所以，当，时，对于整数，若，则成立．

21．【选做题】

A．[选修4—2：矩阵与变换]

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）由题意，得．

∴．

B．[选修4—4：坐标系与参数方程]

解：（Ⅰ）由，，

的直角坐标方程

由（为参数），消参，得：

曲线的普通方程

（Ⅱ）由P的极坐标为，得直角坐标，

则．

点M到直线l的距离，

．∴

故面积的最大值，最小值．

C．[选修4—5：不等式选讲]

解：（Ⅰ）由题意知，a，b，

∵，，

∴

故

又∵

∴，当且仅当，“”成立．

（Ⅱ）∵，，

∴

∴，当且仅当，“”成立．

【必做题】

22．解：（Ⅰ）方法一：定义法

∵平面，平面

∴

又∵，

∴平面，又∵平面

∴

显然，

在中，．

在中，，即．

又∵，，

∴平面，显然，．

设点到面的距离为，

直线与平面所成角为

由等体积法，

∴．

故直线DE与平面所成角的正弦值．

方法二：空间向量（略）

（Ⅱ）方法一：找平面角

由（Ⅰ）知，平面，

是二面角的平面角．

在中，．

∴．

故二面角的大小．

方法二：空间向量（略）

23．解：（Ⅰ）可以等于，但不能等于．

（Ⅱ）的最大值存在，且为200．

解答如下：

由②，得，，…，互不相同，且对于任意，．

不妨设．

如果，那么对于条件②，

当时，不存在，使得．

这与题意不符，故．

如果，那么，

这与条件②中“存在，使得”矛盾，

∴．

∴，，，，

则．

故．

若存在，这与条件②中“存在，使得”矛盾，

∴．

故的最大值存在，且为200．