陕西省榆林市第二中学2020届高三第四次模拟考试数学（理）试题

榆林市第二中学2019—2020学年第一学期

高三年级第四次模拟理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合，，则等于　　

A.  B. R C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求定义域得集合A，求值域得集合B，根据并集的定义写出．

【详解】集合，

，

则．

故选D．

【点睛】本题考查了并集运算问题，涉及函数的定义域和值域的求解问题，是基础题．

2.给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是（  ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复合命题真假的判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；根据正弦定理及充分必要条件可判断④．

【详解】根据复合命题真假的判断，若“且”为假命题，则或至少有一个为假命题，所以①错误；

根据否命题定义，命题“若，则”的否命题为“若，则”为真命题，所以②正确；

根据含有量词的否定，“”的否定是“”，所以③正确；

根据正弦定理，“”“”且“”“”，所以④正确．

综上，正确的有②③④

所以选C

【点睛】本题考查了复合命题真假的判断、否命题及含有量词的否定，正弦定理和充分必要条件的应用，属于基础题．

3.已知，则的关系为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用中间数1可判断的大小，再利用中间数2可判断的大小，从而可判断的大小.

【详解】因为，所以，

而，所以，

故选B.

【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，注意利用中间数来传递不等式关系.

4.设，则（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】

先求内层函数，将所求值代入分段函数再次求解即可

【详解】，则

故选：B

【点睛】本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题

5.已知，则的值域为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

化为利用二次函数求值域即可

【详解】因为，所以，由，得 ，所以.

故选B

【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题

6.函数大致图像为（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

此题主要利用排除法，当时，可得，故可排除C，D，当时，可排除选项B，故可得答案.

【详解】当时，，，∴，故可排除C，D选项；

当时，，，∴，故可排除B选项，

故选A.

【点睛】本题考查函数图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.

7.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点（　）

A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度

B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

C. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

D. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度

【答案】B

【解析】

【详解】，即，所以要得到函数的图像，先将横坐标伸长到原来的，变为；再向右平移个单位即可得到，应选答案B．

8.已知函数为偶函数，且在上是增函数，则的一个可能值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先将函数化简为的形式，再根据三角函数的奇偶性和单调性对选项进行逐一验证即可得到答案．

【详解】根据题意，

，

若为偶函数，则有，即，

所以可以排除、，

对于，当时，，在，上是减函数，不符合题意，

对于，当时，，在，上是增函数，符合题意，

故选．

【点睛】本题考查三角函数的单调性和奇偶性，考查三角恒等变换．一般都要先将函数解析式化简为的形式，再根据题中条件解题．

9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，

∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，

∴cosAsinC+sinAsinC=0，

∵sinC≠0，

∴cosA=﹣sinA，

∴tanA=﹣1，

∵＜A＜π，

∴A= ，

由正弦定理可得，

∵a=2，c=，

∴sinC== ，

∵a＞c，

∴C=，

故选B．

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

10.在中，角所对的边分别是，且，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由得，由得，即得的值.

【详解】中，角，，所对的边分别是，，，

由，得：，

故，

若，

则，即．

，故，

代入，解得．

故选．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，是中档题．

11.已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性的性质，推断出函数的周期是8，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．

【详解】奇函数 的定义域为，若为偶函数，

，且，

则，则，

则函数的周期是8，且函数关于对称，

则（1），

，

则，

故选．

【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期是解决本题的关键．

12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先令，根据题中条件判断其单调性，再由，，将原不等式化为，结合单调性，即可求解.

【详解】令，则，

因为，，

所以，

所以函数在单调递减；

因为，，

所以不等式可化为不等式，

即，

所以，解得.

故选B

【点睛】本题主要考查单调性的应用，以及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】

且解不等式即可．

【详解】且，由此解得,故填

【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0．

14.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.

【答案】

【解析】

试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．

【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义

【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．

15.若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

试题分析：由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．

考点：函数的单调性．

16.已知函数，若函数有两不同的零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

函数有两个不同零点可以转化为函数的图象与函数的图象的有两个交点，作出两函数图象，由图象易得结果．

【详解】令，所以有两个不同的零点，

等价于函数与的图象有两个不同的零点，

如图，在同一坐标系中作出函数与的图象，由图象易知当时，两函数图象有两个交点．

故答案为．

【点睛】本题考查函数零点存在性定理．利用数形结合的思想方法是本题求解的关键．属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知函数

（I）求的值

（II）求的最小正周期及单调递增区间.

【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．

（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．

【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，

＝﹣cos2xsin2x，

＝﹣2，

则f（）＝﹣2sin（）＝2，

（Ⅱ）因为．

所以的最小正周期是．

由正弦函数的性质得

，

解得，

所以，的单调递增区间是．

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．

18.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析】

(1)由可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得的值；(2)由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得结果.

【详解】（1）∵，可得：，

∴由余弦定理可得：，    

 又∵，∴

（2）由及正弦定理可得：，

∵，，

∴由余弦定理可得：，

∴解得：，，

∴

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

19.设函数在及时取得极值．

（1）求的值；

（2）若在上的最大值是9，求在上的最小值.

【答案】（1），（2）

【解析】

【详解】（1），

因为函数在及取得极值，则有，．

即解得，．

（2）由（1）可知，，．

当时，；当时，．

在上的最大值是

此时，所以最小值在时取得，为

20.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．

（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；

（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

【答案】（1）

（2）当一次订购550件服装时，该厂获得的利润最大，最大利润为6050元

【解析】

【详解】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．

（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．

（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x-40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．

解：(1)当0<x≤100时，p＝60；

当100<x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

∴p＝

(2)设利润为y元，则

当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x；

当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.

∴y＝

当0<x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；

当100<x≤600时，

y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，

∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000.

所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．

21.已知函数（e是自然对数的底数）．

（1）求证：；

（2）若不等式在上恒成立，求正数a的取值范围

【答案】(1)见证明； (2)

【解析】

【分析】

（1）要证ex≥x+1，只需证f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，求导得f′（x）＝ex﹣1，利用导数性质能证明ex≥x+1．

（2）不等式f（x）＞ax﹣1在x∈[，2]上恒成立，即a在x∈[]上恒成立，令g（x），x∈[]，利用导数性质求g（x）在x∈[]上的最小值，由此能求出正数a的取值范围．

详解】（1）由题意知，要证，只需证，

求导得，当时，，

当时，，

∴f（x）在是增函数，在时是减函数，

即在时取最小值，

∴，即，

∴．

（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，

亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，，

以下求在上的最小值，

,当时，，

当]时，，

∴当]时，单调递减，当]时，单调递增，

∴在处取得最小值为，

∴正数a的取值范围是．

【点睛】本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

22.已知函数．

（I）求的单调区间；

（II）讨论在上的零点个数．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再根据a的正负确定导函数零点，根据零点情况确定导函数符号，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先分离：再利用导数研究单调性，根据单调性确定函数值域，结合图像确定零点个数与a的关系.

试题解析：（I），

若，则恒成立，

所以的单调递增区间为，无单调递减区间.

若，令得，令得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（II）令得，又，所以 .

因为，所以，可知，若，则无零点；           

若，令，，

当时，当时,

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

又因为当且时，，当时，，

所以，若，则有1个零点，

若，则有2个零点；若，则没有零点．

综上所述，当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点．

点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

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