陕西省西安中学2020届高三下学期第八次模拟考试数学（文）试题

西安中学2020届高三第八次模拟考试

数学（文）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，则∁R（A∪B）＝（    ）

A. [﹣2，1] B. [1，4] C. （﹣2，1） D. （﹣∞，4）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知求出A，B，再求A∪B，进而求其补集．

【详解】∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}={x|x≤﹣2或x≥4}，

∴A∪B={x|x≤﹣2或x≥1}，则∁R(A∪B)=(﹣2,1).

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次不等式求解及集合的基本运算，属于基础题.

2.复数z共轭复数满足，则z＝（    ）

A. 2+i B. 2﹣i C. l+2i D. 1﹣2i

【答案】A

【解析】

【分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭复数的概念得答案.

【详解】由5，得，

∴z＝2+i.

故选：A.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题.

3.已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（    ）

A. 2人 B. 18人 C. 40人 D. 36人

【答案】B

【解析】

【分析】

求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案；

【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为，

则随机抽取60人，高级教师有人.

故选：B.

【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.

4.设，为两条直线，若直线平面，直线平面，下列说法正确的是（    ）

①若，则②若，则

③若，则④若，则

A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据线线、线面、面面的平行、垂直有关定理对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.

【详解】对于①，由于直线平面，，所以平面，所以，故①正确.

对于②，直线位置关系无法判断，故②错误.

对于③，由于直线平面，，所以平面，而平面，所以，故③正确.

对于④，可能相交，故④错误.

综上所述，正确的说法是①③.

故选：C.

【点睛】本小题主要考查空间线线、线面、面面有关命题真假性的判断，属于基础题.

5.设向量，满足，，则（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】

将等式进行平方，相加即可得到结论．

【详解】∵||，||，

∴分别平方得2•10，2•6，

两式相减得4•10﹣6＝4，

即•1，

故选A．

【点睛】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．

6.如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是（    ）

A. i>100，n＝n＋1 B. i<34，n＝n＋3

C. i>34，n＝n＋3 D. i≥34，n＝n＋3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件，根据n值的出现规律可得执行框②的执行式子.

【详解】算法的功能是计算的值，易知1，4，7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34.

故选：C.

【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值及n值的出现规律是解答本题的关键，属于基础题．

7.2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙两名医生，抽调、、三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士被选在第一医院工作的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可知，基本事件总数，医生甲和护士被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，由此能求出医生甲和护士被选为第一医院工作的概率．

【详解】解：某医院抽调甲乙两名医生，

抽调，，三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战，

其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，

基本事件总数，

医生甲和护士被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，

则医生甲和护士被选为第一医院工作的概率为．

故选：B．

【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，以及组合的应用和组合数的运算，考查运算求解能力，是基础题．

8.在中，角所对的边分别为，若则的面积的最大值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知式子和正弦定理可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac≤16，代入三角形的面积公式可得最大值．

【详解】∵在△ABC中，

∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，

∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，

∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，

约掉sinA可得cosB＝，即B＝，

由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，

∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，

∴△ABC的面积S＝acsinB＝ac≤

故选A．

【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．

9.双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据点在不等式表示的区域内，即可求得的不等关系，据此求得离心率范围.

【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为，

且“右”区域由不等式组 确定，

∵点(2,1)在“右”区域内，

∴，即，

∴，

即双曲线离心率e的取值范围是．

故选：B．

【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题.

10.已知函数是上的奇函数，且对任意，都有．若，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数单调性的定义可知函数在上单调递减，再由奇函数的性质可得函数在上单调递减，结合即可得解.

【详解】对任意，都有，

对任意，都有，

函数在上单调递减，

又函数是上的奇函数，函数在上单调递减，

又，

即.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数单调性、奇偶性的应用，考查了对数式的大小比较，属于中档题.

11.定义行列式运算.已知函数满足且的最小值为，则的值为（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出函数的解析式，然后由的最小值为可以求出周期，进而求出.

【详解】由题意得，，，因为的最小值为，所以，则由得.

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．

12.已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得为上的增函数，结合可得在上有解，即存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；分析可得的取值范围，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，

函数，其导数，在上为增函数，

函数，在上为增函数，

则函数在上为增函数；

又由，即在上有解，即存在使得，有解，

进而可得存在使得，有解，

在同一坐标系里画出函数与函数的图象；

对于，其导数，当时，曲线的切线的斜率；

要满足存在使得，有解，则直线的斜率；

故实数的取值范围为；

故选：A．

【点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及数形结合的解题思想方法，曲线导数的几何意义，属于中档题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知F是抛物线的焦点，M是抛物线上的点且，，则直线MN的斜率为______．

【答案】

【解析】

【分析】

设，根据抛物线的定义，到抛物线的准线的距离为，求得的坐标，再求出的斜率.

【详解】设,抛物线准线方程为，由，则，

得，，故的斜率为.

故答案为：

【点睛】本题考查了抛物线的定义，和已知两点坐标求斜率的问题，属于容易题.

14.若，且，则的值为 ___________．

【答案】

【解析】

【分析】先由余弦的和差角公式展开，再运用同角三角函数的平方关系，正弦的二倍角公式可得答案.

【详解】因为，所以，两边平方得，

即，整理得，又，（-1舍去）．

故答案为：.

【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，正弦的二倍角公式，余弦的和差角公式，属于基础题．

15.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对（x，y）；若将（x，y）看作一个点，再统计点（x，y）在圆x2+y2＝1外的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值，假如统计结果是m＝52，那么可以估计π的近似值为_______.（用分数表示）

【答案】

【解析】

【分析】

由试验结果知200对之间的均匀随机数，，对应区域的面积为1，两个数对，满足且，都小于1，面积为，由几何概型概率计算公式即可估计的值．

【详解】解：由题意，240对都小于的正实数对，对应区域的面积为1，

两个数能与1构成钝角三角形三边的数对，

满足且，都小于1，，面积为，

因为点在圆外的个数；

；

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，考查运算求解能力，属于中档题.

16.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是________．

【答案】．

【解析】

【分析】

由已知可知是唯一的根，进而可转化为在时没有变号零点，构造函数，结合导数及函数的性质可求．

【详解】解：函数定义域，，

由题意可得，是唯一的根，

故在上没有变号零点，

即在时没有变号零点，

令，，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故当时，取得最小值，

故即．

故答案：．

【点睛】本题考查根据极值点以及极值点个数求解参数范围，其中涉及到利用参变分离法求解参数范围，难度较难.参变分离法求解参数范围的主要过程：构造新函数，分析新函数的单调性以及值域从而求解出参数的范围.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.已知数列的前项和为，且是与2的等差中项 ；数列中，，点在直线上．

（Ⅰ） 求数列的通项公式和；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据条件得，由即可得，由利用等差数列的通项公式可求；（Ⅱ）利用分组求和结合等差等比数列求和公式即可得解.

【详解】（Ⅰ）∵是与2的等差中项， ∴ ①

∴②

由①-②得

，即数列是等比数列.

再由得，解得.

∴.

点在直线上，．

∴，即是等差数列，又，.

（Ⅱ）

【点睛】本题主要考查了等差等比数列的应用，考查了由求的基本方法，属于中档题.

18.下表为年至年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码年份．

（1）已知与具有线性相关关系，求关于线性回归方程，并预测年该百货零售企业的线下销售额；

（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了位男顾客、位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？

参考公式及数据：．

【答案】（1），万元；（2）能.

【解析】

【分析】

（1）先求出，，利用给出的公式求出，可得线性回归方程.代入可得年该百货零售企业的线下销售额.

（2）先根据题设中的数据得到列联表，再根据公式算出的值，最后根据表中数据可得在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.

详解】（1）由题易得，，，，

所以，

所以，

所以y关于x的线性回归方程为．

由于，所以当时，，

所以预测年该百货零售企业的线下销售额为万元．

（2）由题可得列联表如下：

故的观测值，

由于，所以可以在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．

【点睛】本题考查线性回归方程的计算和独立性检验，此类问题属于基础题，解题时注意公式的正确使用.

19.在平行四边形中，过点作的垂线交的延长线于点，.连结交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.

证明：直线平面

若为的中点，为的中点，且平面平面求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）在平面图形内找到，则在立体图形中，可证面.

（2）解法一：根据平面平面，得到平面，得到到平面的距离，根据平面图形求出底面平的面积，求得三棱锥的体积.

解法二：找到三棱锥的体积与四棱锥的体积之间的关系比值关系，先求四棱锥的体积，从而得到三棱锥的体积.

【详解】证明：如图1，在中，所以.所以

也是直角三角形，

，

如图题2，所以平面.

解法一：平面平面，且平面平面 ，

平面， 平面.

取的中点为，连结则

平面，即为三棱锥的高..

解法二：平面平面，且平面平面 ，

平面，

平面.

为的中点，三棱锥的高等于.

为的中点，的面积是四边形的面积的，

三棱锥的体积是四棱锥的体积的

三棱锥的体积为.

【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，以及三棱锥体积的计算，都是对基础内容的考查，属于简单题.

20.已知动点到两点，的距离之和为4，点在轴上的射影是C，.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点的直线交点的轨迹于点，交点的轨迹于点，求的最大值.

【答案】（1）.（2）1

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的定义和题设条件，求得点的轨迹方程是，设点坐标为，由所以点的坐标为，代入即可求解.

（2）若轴，求得；若直线不与轴垂直，设直线的方程为，根据圆的弦长公式，求得，再联立方程组，结合根与系数的关系，求得的表达式，代入化简，即可求解.

【详解】（1）设，

因为点到两点的距离之和为4，即

可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，

所以，即，且，则，

所以点的轨迹方程是.

设点坐标为，因所以点的坐标为，可得，

化简得点的轨迹方程为.

（2）若轴，则，.

若直线不与轴垂直，设直线的方程为，即，

则坐标原点到直线的距离，

.

设.将代入，并化简得，

.

，.

，

当且仅当即时，等号成立.

综上所述，最大值为1.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，圆的性质，及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

21.已知函数在处的切线与直线平行．

(1)求实数的值，并判断函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，，且，求证：．

【答案】（1）在上是单调递减；在上是单调递增. （2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）由可得，利用导数可求的单调区间.

（2）由可得，，令，则且，构建新函数，利用导数可以证明即.

【详解】（1）函数的定义域：，

，解得，

，

令，解得，故在上是单调递减；

令，解得，故在上是单调递增.

（2）由为函数的两个零点，得

两式相减，可得

即，，

因此，

令，由，得.

则，

构造函数，

则

所以函数在上单调递增，故，

即，可知.故命题得证.

【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．

（2）函数有两个不同的零点，考虑它们的和或积的性质时，我们可以通过设，再利用得到、与的关系式，最后利用导数证明所考虑的性质成立．

请考生在第22、23题两题中任选一道解答. 注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

写出曲线C的极坐标方程；

设点M的极坐标为，过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若，求AB的弦长．

【答案】（1）；（2）3

【解析】

【分析】

将参数方程转化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得曲线C的极坐标方程为．

设直线l的参数方程是(为参数，与圆的方程联立可得，结合题意和直线参数的几何意义可得弦长．

【详解】曲线C的参数方程为(为参数．

曲线C的直角坐标方程为，

曲线C的极坐标方程为，

即曲线C的极坐标方程为．

设直线l的参数方程是(为参数，

曲线C的直角坐标方程是，，

联立，得，

，且，，

则，或，，

的弦长．

【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

23.已知函数，.

（1）当时，求a的取值范围；

（2）若，，，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）；

（2）

【解析】

【分析】

（1）将原不等式化为关于a的不等式，由绝对值的意义，分类讨论去绝对值，解不等式，求并集即可；

（2）原不等式等价于，运用绝对值不等式的性质和二次函数的最值求法，分别求得最值，解不等式可得所求范围.

【详解】解：（1）由，得，

即，

则，或，或，

解得，或，或，

则的范围是；

（2）恒成立，等价于，

当，时，

，

当且仅当时取等号，

而，时，

，

当且仅当时，取等号，

则由，解得，

故所求的范围是：.

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，以及二次函数的最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题.