陕西省西安市西安中学2020届高三第一次模拟考试数学（文）试卷
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数学(文)试卷 |
一. 选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1. 已知集合M满足，则集合M的个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 若，则
A. 1 B. C. D.
3. 已知向量，，若，则锐角为
A. B. C. D.
4. 有5支彩笔除颜色外无差别，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A. B. C. D.
5.设，，，则的大小关系是
A. B. C. D.
6. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，
小赵说：我没去过；
小钱说：小李去过；
小孙说：小钱去过；
小李说：我没去过．
假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是
A. 小赵 B. 小李 C. 小孙 D. 小钱
7. 已知函数满足，且，当时，，则
A. B. C. D.
8. 已知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为
A. B. C. D.
10. 已知抛物线交双曲线的渐近线于A，B两点异于坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为32，则抛物线的焦点为
A. B. C. D.
11. 已知函数，若，且的最小值为，则
A. 在是增函数 B. 在上是减函数
C. 在上是增函数 D. 在上是减函数
12. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
二.填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上.）
13. 设x，y满足约束条件，则的最小值为______．
14. 已知某民营车企1月份生产了A，B，C三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，现用分层抽样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为_______．
15. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则a的值为 ．
16. 我国古代数学名著《九章算术商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：
①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为.其中正确的序号为_______．
三.解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22,23题为选考题，考生根据要求作答）
(一) 必考题：共60分.
17.(12分)
已知等比数列的各项均为正数，，．
1求数列的通项公式；
2设证明：为等差数列，并求的前n项和．
18.(12分)
如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
证明：平面AEC；
设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．
19.(12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．
1现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；
2若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；
3求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．
20.(12分)
如图，已知圆经过椭圆的左右焦点，与椭圆C在第一象限的交点为A，且，E，A三点共线．
求椭圆C的方程
设与直线为原点平行的直线l交椭圆C于M，N两点当的面积取到最大值时，求直线l的方程．
21.(12分)
设，函数．
当时，求函数的单调区间；
若函数在区间上有唯一零点，试求a的值．
(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答. 如果多做，那么按所做的第一题计分.
22.(10分) 【选修：坐标系与参数方程】
在直角坐标xOy中，圆：，曲线的参数方程为为参数，并以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
写出的极坐标方程，并将化为普通方程；
若直线的极坐标方程为，与相交于A，B两点，求的面积为圆的圆心．
23(10分) 【选修：不等式选讲】
设函数．
1证明：；
2若，求a的取值范围．
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数学(文)答案 |
二. 选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | D | C | C | C | D | A | A | D | B | D | D |
二.填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上.）
13. 14. 15. 8 16.①②④
三.解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22,23题为选考题，考生根据要求作答）
(一) 必考题：共60分.
17.(12分)
1解：设等比数列的公比为q，依题意 ，
，，
，，
两式相除得 ，
解得 ，舍去，
，
数列的通项公式为 ；
2证明：由Ⅰ得 ，
，
数列是首项为1，公差为的等差数列，
．
18.(12分)
解：证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，
是矩形，为BD的中点
为PD的中点，．
平面AEC，平面AEC 平面AEC；
，，平面ABCD，三棱锥的体积，
，
，．
平面ABCD，平面ABCD，，
又，，PA，平面PAB平面PAB，
作交PB于H，
平面PAB，，PB，平面PBC．
故AH平面PBC．则，
，到平面PBC的距离．
19.(12分)
解：1派甲参加比较合适，理由如下：
，
，
，
，
，，
故甲的成绩比较稳定，
2；
3从不小于80分的成绩中抽取2个成绩，
所有结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15个，
其中，满足2个成绩均大于85分的有，，共3个，
故所求的概率是．
20.(12分)
解：，E，A三点共线，为圆E的直径，且，
由，得，
，，
，，．
，，
椭圆C的方程为．
由知，点A的坐标为，
直线OA的斜率为，故设直线l的方程为，
将l方程代入消去y得：，
设，，
，，，，
，
又：，
点A到直线l的距离，
，
当且仅当，即时等号成立，此时直线l的方程为．
21.(12分)
解：函数，
当时，，其中；
，
令，即，
解得或小于0，应舍去；
时，，
时，；
的单调减区间是，
单调增区间是；
，
则，
令，得，
，
，
方程的解为舍，
；
函数在上单调递减，在上单调递增，
的大致图象如图所示，
则，
若函数在区间上有唯一零点，
则，
而满足，
，
得，
在是单调递增的，至多只有一个零点，
而，
用代入，
得，
解得．
(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答. 如果多做，那么按所做的第一题计分.
22.(10分) 【选修：坐标系与参数方程】
解：圆：，
即，
的极坐标方程为；
曲线的参数方程为为参数，
的普通方程为：；
直线的极坐标方程为，
直线的直角坐标方程为，
由题意知与交于坐标原点，设A，O重合，
，，，
的面积为圆的圆心为
．
23(10分) 【选修：不等式选讲】
解：Ⅰ证明：，，
故不等式成立．
Ⅱ，
当时，不等式即，即，解得．
当时，不等式即，即，求得．
综上可得，a的取值范围
