云南省曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试数学（文）试题

2020年高考数学一模测试试卷(文科)

一､选择题(共12小题).

1.若复数z(i是虚数单位)，则|z|=（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

分析】

利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算.

【详解】z.

所以|z|.

故选：B.

【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2.已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由分式不等式的解法可求得集合，根据交集定义可求得结果.

【详解】由得：，解得：，，

.

故选：.

【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题.

3.已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（    ）

A. 若m∥β，则m∥l B. 若m∥l，则m∥β

C. 若m⊥β，则m⊥l D. 若m⊥l，则m⊥β

【答案】D

【解析】

分析】

A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.

【详解】A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；

B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；

C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；

D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；

故选：D.

【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.

4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量满足，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（    ）

A. 1005 B. 1006 C. 2010 D. 2012

【答案】A

【解析】

【分析】

根据an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据，及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值.

【详解】由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a；

∴{an}为等差数列；

由，

所以A，B，C三点共线；

∴a1005+a1006=a1+a2010=1，

∴S2010.

故选：A.

【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.

5.已知向量(1,cosθ)，，且⊥，则sin2θ+6cos2θ的值为（    ）

A.  B. 2 C. 2 D. ﹣2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据⊥可得tanθ，而sin2θ+6cos2θ，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ可得答案.

【详解】因为向量(1，cosθ)，(sinθ，﹣2)，

所以

因为⊥，

所以，即tanθ=2，

所以sin2θ+6cos2θ2.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.

6.执行如图所示的程序框图，令，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

分析：先根据程序框图得解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果.

详解：因为，所以由得

所以

因此选D.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

7.已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．

考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.

8.已知某班学生的数学成绩x(单位:分)与物理成绩y(单位:分)具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算:，设其线性回归方程为:.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（    ）

A. 66 B. 68 C. 70 D. 72

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意求出､，代入线性回归方程求得，再计算x=105时的值.

【详解】由题意知，xi475=95，yi320=64，

代入线性回归方程0.4x中，得64=0.4×95，解26；

所以线性回归方程为0.4x+26，

当x=105时，0.4×105+26=68，

即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68.

故选：B.

【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题.

9.等比数列的前项和为，若，，则（  ）

A. 18 B. 10 C. -14 D. -22

【答案】D

【解析】

【分析】

由求和公式可得关于和的值，再代入求和公式可得.

【详解】解：设等比数列的公比为，显然，

由求和公式可得①，

②

可得，解得，

代回①可得，

故选D．

【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ．

10.函数，的图象大致是　　

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，

所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，

函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），

所以x=±时函数取极值，排除C，

故选D．

点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．

11.已知是双曲线的左、右焦点，设双曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

依题设，，

∵，  ∴，

∴等腰三角形底边上的高为， ∴底边的长为，

由双曲线的定义可得，∴，

∴，即， ∴，解得.

点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件和双曲线的定义可得，即在三角形中寻找等量关系，运用双曲线的a,b,c的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率.

12.定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为(    )

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

构造函数，可得在定义域内上是增函数，且，进而根据转化成，进而可求得答案

【详解】令，则，

在定义域上是增函数，且，

，

可转化成，得到

，又，可以得到

故选D

【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题

二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.)

13.已知实数x、y满足，则目标函数的最小值为_____________．

【答案】

【解析】

满足条件的点的可行域如下：

由图可知，目标函数在点处取到最小值-3

14.已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为_____，实数m的取值范围为_____.

【答案】    (1). 8    (2).

【解析】

【分析】

x+2y=xy等价于1，根据基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围.

【详解】∵x>0，y>0，x+2y=xy，

∴1，

∴1，

∴xy≥8，当且仅当x=4，y=2时取等号，

∴x+2y=8(当x=2y时，等号成立)，

∴m2+2m<8，解得﹣4<m<2.

故答案为：8；(﹣4，2)

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.

15.已知圆：，在圆M上随机取一点P，则P到直线的距离大于的概率为           .

【答案】

【解析】

【详解】

试题分析：作出示意图，由题意P到直线的距离大于，则P在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为

考点：几何概型

16.平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据BD⊥CD，BA⊥AC，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.

【详解】因为平面A′BD⊥平面BCD， BD⊥CD，

所以CD⊥平面ABD，

∴CD⊥BA，又BA⊥AD，∴BA⊥面ADC，

所以BA⊥AC，

所以△BCD和△ABC都是直角三角形，

由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，

所以BC的中点就是球心，所以BC，球的半径为：

所以球的表面积为：3π.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

三､解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.)

17.已知向量.

（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若f(A)=1，求△ABC的周长.

【答案】（1）.（2）

【解析】

【分析】

（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f(x)=sin(2x)，再利用正弦函数的单调性即可计算得解.

（2）由题意可得sin(2A)，结合范围0<A<π，可求A的值，由正弦定理利用sinB=3sinC，可得b=3c，根据余弦定理可求c的值，进而可求b的值，从而可求三角形的周长.

【详解】（1）因为(sinx，cosx)，( cosx，cosx)，

f(x)•sinxcosx+cos2xsin2xcos2xsin(2x)，

由2kπ≤2x2kπ，k∈Z，可得：kπ≤xkπ，k∈Z，

可得f(x)的单调递增区间是：[kπ，kπ]，k∈Z，

（2）由题意可得：sin(2A)，

又0<A<π，

所以 2A，

所以2A，解得A，

设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2=b2+c2﹣2bccosA，

所以a=BC，

又sinB=3sinC，可得b=3c，

故7=9c2+c2﹣3c2，解得c=1，

所以b=3，可得△ABC的周长为4.

【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及正弦定理，余弦定理的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.

18.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.

(1)求正整数a，b，N的值；

(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是

多少？

(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3） .

【解析】

【分析】

⑴根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数可以求得，，

⑵先求出这三组的总人数，根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数

⑶利用列举法列出所有的组合方式共有种，其中满足条件的组合有种，利用古典概型概率公式求得结果

【详解】(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以.

且        总人数

(2)因为第1,2,3组共有人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为， 第2组的人数为，第3组的人数为，

所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．

(3)由(2)可设第1组的1人为，第2组的1人为，第3组的4人分别为，，，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

，，，，，，，，，，，，，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：，，，，，，，，共有8种．

所以恰有1人年龄在第3组的概率为.

【点睛】本题主要考查了频率分布表和频率分布直方图的应用，还考查了利用古典概型概率公式求概率，熟练掌握各个定义，是解题的关键，属于基础题．

19.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上(如图1)，且BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′(如图2).

（1）求证：A′D⊥EF；

（2）BFBC时，求点A′到平面DEF的距离.

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

【分析】

（1）推导出A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，由线面垂直的判定定理得到A′D⊥平面A′EF，由此得证.

（2）设点A′到平面DEF的距离为d，由VA′﹣DEF=VD﹣A′EF，能求出点A′到平面DEF的距离.

【详解】（1）由ABCD正方形及折叠方式，得：

A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，

∵A′E∩A′F=A′，

∴A′D⊥平面A′EF，

∵EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.

（2）∵，

∴，

∴，∴DE=DF，∴，

设点A′到平面DEF的距离为d，

∵VA′﹣DEF=VD﹣A′EF，

∴，

解得d.

∴点A′到平面DEF的距离为.

【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及等体积法球点到面的距离，还考查转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.

20.已知P是圆上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.

【答案】（1）.（2）面积的最大值为，此时直线l的方程为.

【解析】

【分析】

（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C的方程；

（2）设直线l的方程为x=ty与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程.

【详解】（1）由已知|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4，

所以点Q的轨迹为以为，焦点，长轴长为4的椭圆，

则2a=4且2c=2，所以a=2，c=1，则b2=3，

所以曲线C的方程为；

（2）设直线l的方程为x=ty与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立直线与椭圆的方程消去x，得(3t2+4)y2﹣6ty﹣3=0，

则y1+y2，y1y2，

则S△AOB|OM|•|y1﹣y2|••，

令，则u≥1，上式可化为，

当且仅当u，即t=±时等号成立，

因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为x=±.

【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.

21.设函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）

【解析】

【分析】

（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由，可得，，令，利用导数可得 的减区间为，增区间为，求得函数的极值与最值，从而可得结果.

【详解】（1）因为，所以函数的定义域为，

当时，，

令，得或（舍去）.

当时，，当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）令，，，

令，其中，

则，令，得，

当时，，当时，，

的单调递减区间为，单调递增区间为，

，

又，，且，

由于函数在上有两个零点，

故实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.

22.在直角坐标系中，已知圆： (为参数)，点在直线：上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求圆和直线的极坐标方程；

（2）射线交圆于，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程．

【答案】（1）,；（2）.

【解析】

试题分析：（1）圆为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：，利用互化公式可得圆的极坐标方程以及直线的极坐标方程；（2）)设的极坐标分别为，由，又，即得出.

试题解析：（1）圆的极坐标方程，直线的极坐标方程＝.

(2)设的极坐标分别为，因为

又因为，即

，    .

23.已知函数.

（Ⅰ）若不等式有解，求实数最大值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数，满足，证明：.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)原问题等价于.由绝对值三角不等式可得，则，实数的最大值.

(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数，满足，由柯西不等式可知，即(当且仅当时取“=”).

试题解析：

(Ⅰ)若不等式有解，只需的最大值即可.

因为，所以，解得，

所以实数的最大值.

(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数，满足，由柯西不等式可知，

所以，，因为，均为正实数，所以(当且仅当时取“=”).