2021版高考数学一轮复习核心素养测评二充要条件全称量词与存在量词苏教版

核心素养测评二 充要条件、全称量词与存在量词

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 (　　)

A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2

B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2

C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2

D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2

【解析】选D.原命题是全称命题,条件为“∀x∈R”,结论为“∃n∈N*,使得n≥x2”,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有D选项符合.

2.命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是 (　　)

A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n

B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n

C.∃n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n

D.∃n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n

【解析】选D.全称命题的否定为特称命题,因此命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n”.

3.(2019·莆田模拟)王安石在《游褒禅山记》中写道:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也。”请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的              (　　)

A.充要条件

B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件

D.必要不充分条件

【解析】选D.“非有志者不能至也”的等价说法是“到达奇伟、瑰怪,非常之观的人是有志的人”,因此“有志”是“到达奇伟,瑰怪,非常之观”的必要条件,但“有志”也不一定“能至”,故充分性不成立;即必要不充分条件.

4.“m>n”是“log2m>log2n”的 (　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.m>n得不到log2m>log2n,比如2>-1,log2(-1)无意义;log2m>log2n,根据对数函数y=log2x在定义域上是增函数便得到m>n;所以“m>n”是“log2m>log2n”的必要不充分条件.

5.“x<0”是“ln(x+1)<0”的 (　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,x<0 -1<x<0,-1<x<0⇒x<0,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要而不充分条件.

6.(2020·苏州模拟)“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是(　　)

A.1<m<3    B.1<m<4

C.2≤m≤3   D.2<m<

【解析】选B.f(x)=-x2+2mx,对称轴x=m,若函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调,则1<m<3,所以“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是1<m<4.

7.(多选)命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是

 (　　)

A.a>4　 　B.a≤4　 　C.a≥5　 　D.a≥6

【解析】选A、C、D.命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为A、C、D.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.在△ABC中,“A=B”是“tan A=tan B”的______条件. 

【解析】在△ABC中,由A=B,得tan A=tan B,反之,若tan A=tan B,则A=B+kπ,k∈Z.因为0<A<π,0<B<π.所以A=B.该题中特别注意原题是在三角形中.

答案:充要

9.已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“∃x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则f(a+b)=________.               

【解析】若“∃x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则“∀x∈(a,b), f(x)+f(-x)=0”是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,所以a+b=0,所以f(a+b)=0.

答案:0

10.已知命题“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是________.  

【解析】由“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.

设f(x)=x2-5x+a,则其图象恒在x轴的上方.

故Δ=25-4×a<0,解得a>,即实数a的取值范围为.

答案:

(15分钟　35分)

1.(5分)给出下列命题:

①∃x∈R,ln(x2+1)<0;②∀x>2,x2>2x;③∀α,β∈R,sin(α-β)=sin α-sin β;④a>b是2a>2b的充要条件.其中真命题的个数为              (　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

【解析】选A.由于∀x∈R,y=ln(x2+1)≥ln 1=0,故①错;令x=4,则x2=2x=16,故②错;③应为∀α,β∈R,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,故③错;④因为a>b⇒2a>2b;2a>2b⇒a>b,故④正确.其中真命题的个数为1.

2.(5分)若x>5是x>a的充分条件,则实数a的取值范围为 (　　)

A.a>5   B.a≥5  C.a<5   D.a≤5

【解析】选D.由x>5是x>a的充分条件知,

{x|x>5}⊆{x|x>a},所以a≤5.

【变式备选】

　　 “m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件. 

【解析】x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,

即m≤,因为m<⇒m≤,反之不成立.

故“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.

答案:充分不必要

3.(5分)条件p:-2<x<4,条件q:(x+2)(x+a)<0;若q是p的充分条件,则a的取值范围是________. 

【解析】设集合A={x|-2<x<4},

B={x|(x+2)(x+a)<0},

因为q是p的充分条件,所以B⊆A.

①当a=2时,B={x|(x+2)2<0}=,显然B⊆A.

②当a≠2时,因为B⊆A,所以B={x|-2<x<-a},

所以即-4≤a<2.

综上可知,a∈[-4,2].

答案:[-4,2]

4.(10分)已知条件p:k-2≤x≤k+5,条件q:0<x2-2x<3,若p是q的必要不充分条件,求实数k的取值范围.

【解析】q:

解得-1<x<0或2<x<3,p:k-2≤x≤k+5,

因为p是q的必要不充分条件,

所以q⇒p,pq,

所以所以-2≤k≤1,即k∈[-2,1].

5.(10分)求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.

【证明】必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a+b+c=0.

充分性:若a+b+c=0,则b=-a-c,

所以ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,所以(ax-c)(x-1)=0,

所以当x=1时,ax2+bx+c=0,

所以x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.

综上,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.