江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题理
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（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）
- 已知为虚数单位,若复数,在复平面内对应的点分别为,,则复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
3．设为等差数列的前项和,若,则（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在上的偶函数满足,且在区间上是减函数,令,
,则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5．若点上,则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )
A．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌
B．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高
C．2019年我国居民每月消费价格逐月递增
D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降
7．已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足约束条件,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的图象大致为（ ）
10．2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为（ ）
A．72 B．84 C．96 D．120
11．已知,是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是函数的极大值点,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13．设向量与的夹角为,定义与的“向量积”：是一个向量,它的模.若,则____________.
14. 若,则的展开式中的系数为___________.
15．在棱长为4的正方体中,为线段的中点,若三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为 .
16．已知,为双曲线的左、右顶点,双曲线的渐近线上存在一点满足,则的最大值为________．
三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）如图,在平面四边形中,,,且.
（1）若,求的值；
（2）求四边形面积的最大值.
18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,是正三角形,,,.
（1）若,求证：平面；
（2）若,求二面角的正弦值．
19．（本小题满分12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：
研发费用（百万元） | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 15 | 18 | 21 |
销量（万盒） | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 3.5 | 3.5 | 4.5 | 6 |
（1）根据数据用最小二乘法求出与的线性回归方程（系数用分数表示，不能用小数）；
（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测．第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,．两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的分布列与数学期望．
附：（1）（2）．
20．（本小题满分12分）给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程并证明；
②求证：线段的长为定值.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若在上存在单调递增区间,求实数的取值范围；
（2）设,若,恒有成立,求的最小值.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与和分别交于点,求．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为M,且,求证：.
2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案
一、单选题
1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．【答案】（1）（2）
法一：解：（1）在中，由正弦定理得，∴
∵，∴或 ………………3分
当时，此时三点共线，矛盾 ∴ ………………4分
∴.………………6分
法二：由余弦定理………………3分
若时，此时，即三点共线，矛盾………………4分
∴，此时∴…6分
（2）设，在中，由余弦定理得
……8分
∴
.……………………11分
当时，四边形面积的最大值. ……………………12分
备注：（1）若第1问用正弦定理没写出，扣1分
（2）若第1问用余弦定理没写出，并且排除，扣1分
18.【答案】（1）见详细答案（2）
（1）如图，作，交于，连接.
因为，所以是的三等分点，可得.
因为，，，所以，
因为，所以，…………………1分
因为，所以，所以，（2分）
因为，所以，所以，……3分
因为平面，平面，所以平面.……4分
又，平面，平面，所以平面.……………5分
因为，、平面，所以平面平面，所以平面.…6分
（2）因为是等边三角形，，所以.
又因为，，所以，所以.
又，平面，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.………7分
以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，.………8分
设为平面的法向量，则，即，
令，可得.………………9分
设为平面的法向量，则，即，
令，可得.………………10分
所以………………11分
则，所以二面角的正弦值为.……………………12分
备注：若第2问用几何法做对也给满分.
19．【答案】（1）（2）分布列见详解，数学期望为.
解：解：（1）由题意可知，
，………………2分
由公式………………3分
………………4分
∴……………5分
（2）药品的三类剂型经过两次检测后合格分别为事件,则
……………7分
由题意，
………10分
0 | 1 | 2 | 3 | |
…………12分
20.【答案】(1) 椭圆方程为，准圆方程为；
①方程为 ②见详解
【解析】（1），………………2分
椭圆方程为， ………………3分 准圆方程为．………………4分
（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
所以由得.……………5分
因为直线与椭圆相切，
所以，解得，……………6分
所以方程为．……………7分
，．……………8分
（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，
则：，
当：时，与准圆交于点，
此时为（或），显然直线垂直；
同理可证当：时，直线垂直……………9分
②当斜率存在时，设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为，
所以由
得.……………10分
由化简整理得
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆相切，
所以满足上述方程，
所以，即垂直．……………11分
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.
所以线段为准圆的直径，，
所以线段的长为定值6．……………12分
21．【答案】（1）（2）
解：（1）由，得，……………1分
由在上存在单调递增区间，可得在上有解，……………2分
即在上有解，则，∴，
∴的取值范围为.……………4分
（2）设，，
则.
设，则， ……………5分
∴单调递增，即在上单调递增 ∴.……………6分
当时，，在上单调递增，∴，不符合题意；
当时，，在上单调递减，，符合题意；
当时，由于为一个单调递增的函数，
而，，
由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，
从而在上单调递减，在上单调递增， ……………9分
因此只需，∴，∴，从而，
综上，的取值范围为，……………10分
因此. 设，则，
令，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，……………11分
从而，∴的最小值为.……………12分
备注：第1问写扣1分
22.（1）,（2）
【解析】（1）由可得，
由，消去参数，可得直线的普通方程为．………………2分
由可得，将，代入上式，可得，
所以曲线的直角坐标方程为．…………………………5分
（2）由（1）得，的普通方程为，
将其化为极坐标方程可得，…………………………7分
当时，，，所以．………………10分
备注：第1问没写扣1分
23.（1） （2）见详解
【解析】（1）当时，等价于，该不等式恒成立；
当时，等价于，该不等式不成立；
当时，等价于，解得，…………………………3分
所以不等式的解集为.…………………………5分
（2）因为，当时取等号，所以,，……7分
由柯西不等式可得,
当且仅当时等号成立，所以.…………………………10分
备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分
