2020届福建省厦门市高中毕业班线上质量检查数学（文）试题（解析版）
展开2020届福建省厦门市高中毕业班线上质量检查数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先化简集合B，再与集合A求交集.
【详解】
因为，
又因为，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．椭圆：的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标.
【详解】
因为椭圆：，
所以标准方程为，
解得，
因为焦点在y轴上，
所以焦点坐标为，.
故选：B
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3．记为等差数列的前项和，且，，则数列的公差是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】C
【解析】根据，，即，联立求解.
【详解】
设等差数列的公差为d，
因为，，
所以，，
解得d=-1.
故选：C
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽弦图及注文.弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实.由2×勾×股+（股－勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2.若图中勾股形的勾股比为，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（ ）（参考数据：，）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设勾为a，则股为，求得大正方形的边长，面积，小正方形的边长，面积，再利用几何概型求得概率即可.
【详解】
设勾为a，则股为，
大正方形的边长为，则其面积为，
小正方形的边长为，则其面积为，
所以落在黄色图形内的概率为：，
落在黄色图形内的图钉颗数大约.
故选：C
【点睛】
本题主要考查几何概型的概率，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
5．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，再利用两角和与差的正切公式求解.
【详解】
因为角的终边经过点，
所以，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义及两角和与差的正切公式，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
6．，是两个平面，，是两条直线，且，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】利用面面平行和面面垂直的性质定理判断.
【详解】
若，因为，
所以则，
又因为，
所以，故B正确，A错误.
若，因为，
或，故C，D错误
故选：B
【点睛】
本题主要考查面面平行和面面垂直的性质定理，还考查了空间想象，理解辨析的能力，属于基础题.
7．在菱形中，，，为的中点，则（ ）
A．10 B．12 C．16 D．36
【答案】B
【解析】利用向量的中点坐标公式，将，转化为，再利用数量积的运算律和公式求解.
【详解】
在菱形中，，，为的中点，
则.
故选：B
【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．已知数列满足，（），则（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】D
【解析】根据时，由，得两式相减得：，得到数列是等比数列，再利用通项公式求解.
【详解】
当时，由，
得，
两式相减得：，
又因为，
所以数列时等比数列.
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式和前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据，得，，，再比较.
【详解】
因为，
所以，
所以，
又因为，，
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查对数的换底公式和对数比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．在正三棱柱中，，，，，分别为，，，的中点，是线段上的一点.有下列三个结论：
①平面；②；③三棱锥的体积是定值.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】充分利用正三棱柱的几何特征，面面平行的性质定理和线面垂直的判断定理以及等体积法求解.
【详解】
如图所示：
因为，
所以平面BDF.
又因为DF//EG，
所以EG//平面BDF， ，
所以平面平面BDF，
所以平面，故①正确.
因为，
所以，
又因为，，
所以平面BDF，
所以，故②正确.
，故③正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查直线与平面的位置关系，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
11．已知双曲线：（）的左，右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与重合，点是与的交点，且，则的离心率是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】根据抛物线的定义和，得到，再根据双曲线的定义，求得，，然后用余弦定理求解.
【详解】
如图所示：
过作抛物线的准线的垂线，
因为，
所以，
又，∴，
在中，由余弦定理得
即，
∴
∴，
∴或
又，
∴，即，
∴.
故选：C
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义和双曲线的定义及几何性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
12．函数，若（）对恒成立，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由，求导，可知在R上是增函数，而当时，，当时，，根据，对恒成立，则必有成立.
【详解】
因为，
所以，
所以在R上是增函数，
当时，，
当时，，
当时，，
因为，对恒成立，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
13．复数（为虚数单位），则的虚部是______.
【答案】2
【解析】先化简复数，再由复数的概念求解.
【详解】
因为复数
所以的虚部是2
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解和理解辨析的能力，属于基础题.
14．若，满足约束条件则的最大值是______.
【答案】4
【解析】根据，满足约束条件，画出可行域，平移所在的直线，找到最优点，将坐标代入求解.
【详解】
因为，满足约束条件
所对应的可行域如图所示：
平移所在的直线，找到最优点A（1，1），所以的最大值是4.
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
15．如图，函数（，）的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，（坐标原点）为的重心，，则点的坐标为______，______.
【答案】
【解析】根据（坐标原点）为的重心，，则有d，，得到，同时，是半个周期，可求得，再代入一个零点，求得即可.
【详解】
因为（坐标原点）为的重心，，
所以，
所以，
所以.
所以，，
因为，，
所以.
所以.
故答案为：(1). (2).
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．已知数列满足，且（），则的最大值是______.
【答案】
【解析】根据题意有，两式相减的，则数列的奇数项和偶数项都是递减数列 ，再根据求几项即可.
【详解】
根据题意得：，
所以，
所以数列的奇数项和偶数项都是递减数列，
又因为，所以，，
的最大值是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查数列的递推关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
17．的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求；
（2）若，点在边上，且，求的面积.
【答案】（1）5；（2）
【解析】（1）由正弦定理将，转化为，再利用两角和与差的三角函数转化为，再求解.
（2）在中，利用余弦定理求得边a，在中，求得，，再利用正弦定理求解.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴
（2）如图所示:
∵，
∴，
∴，∵，∴.
∵在中，，，∴是等边三角形，
∴，，∴，，
∴.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18．如图，四边形是边长为2的菱形，，，都垂直于平面，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）法一由，利用线面平行的判定定理，得到面，同理面，再由面面平行的判定定理得到面面即可.
（2）法一：连接，交于点，利用线面垂直的判定定理易得面，面，面，∴，又，，四边形为矩形，利用等体积法求解.
【详解】
（1）法一∵，面，面，
∴面，
∵平面，平面，∴，
又面，面，∴面，
∵，∴面面，
又面，∴面.
法二：取中点，连接，，
∵平面，平面，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴.
∵平面，平面，∴，∴，，，四点共面.
∴面.
又面，∴面.
（2）法一：连接，交于点，
∵面，面，∴.
又，，
∴面.
在等边中，，，
∵面，面，
∴，又，.
∴四边形为矩形，
∴.
∴.
法二：∵面，面，∴，
又面，面，
∴面.
取中点，连接，
∵面，面，∴，
在等边中，，
又，∴面，
∴到面的距离即为.
又，
∴.
【点睛】
本题主要考查线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，还考查了数形结合、转化化归的思想和空间想象的能力，属于中档题.
19．凤梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年.龙眼干的级别按直径的大小分为四个等级（如下表）.
级别 | 三级品 | 二级品 | 一级品 | 特级品 |
某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间），统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下：
频数 | 1 | 29 | 7 |
用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个.
（1）求、的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；
（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：
方案：以60元/千克收购；
方案：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋.
用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由.
【答案】（1），；（2）应选择方案，理由见解析
【解析】（1）根据题意，建立方程组求解/
（2）农场选择方案获得的收入为（元），设农场选择方案获得的收入为元，依题意先计算500千克龙眼干共可以分装多少袋，再利用样本估计总体，分别明确特级品，一级品，二级品，三级品各多少袋，再求解比较.
【详解】
（1）依题意得，
解得.
∴所抽取的100个龙眼干中特级品的频率为，
∴用样本频率估计总体分布得，这批龙眼干中特级品的比例为58%.
（2）农场选择方案获得的收入为（元），
设农场选择方案获得的收入为元，
则依题意得500千克龙眼干共可以分装1000袋，
用样本频率估计总体分布得：
特级品有袋，一级品有袋，
二级品有袋，三级品有袋.
∴（元）
∵，∴农场应选择方案.
【点睛】
本题主要考查样本估计总体，还考查了数据处理的能力，属于中档题.
20．已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率乘积为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设曲线与轴正半轴交于点，直线：与交于，两点，是线段的中点.证明：.
【答案】（1）（）；（2）见解析
【解析】（1）设点的坐标为，根据题意，即，再化简求解.
（2）设直线：与曲线的交点为，由，得，又，，，要证，根据三角形中线定理，即证，再利用向量法由求解.
【详解】
（1）设点的坐标为，
∵，∴，
化简得：，又，
故动点的轨迹的方程为（）.
（2）设直线：与曲线的交点为，，
由，得，
又，，，
法一：要证，即证，即证①，
∵，，
∴，
.
故①式成立，则命题得证.
法二：点坐标为，
则，
，
，
故，则命题得证.
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点，，证明：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）将在上单调递增，转化为在上恒成立，恒成立求解.
（2）利用换元法，设，将，转化为，则由，，∴，得到有两个极值点，（），再将证明，转化为证明，令（），求其最大值即可.
【详解】
（1）依题意得在上恒成立，
得，∵（当时等号成立），
∴的取值范围为.
（2）令，设，则（），
当时，，设方程（）的两个实根为，（），
则，，∴，
∴，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴有两个极值点，（），
∴，
（），
令（），∴，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∴，∴，即.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的极值，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
（1）写出的极坐标方程；
（2）设点的极坐标为，射线分别交，于，两点（异于极点），当时，求.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用，消去的参数将的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.
（2）将射线分别于的极坐标方程联立，求得两点对应的，由此求得的表达式，求得的表达式，根据列方程，由此求得的值.
【详解】
（1）∵（为参数）
∴曲线的普通方程为，即
∵，，∴
∴曲线的极坐标方程为
（2）依题意设，，
∴由得.由得.
∵，∴.
∴.
∵是圆的直径，∴.
∴在直角中，
∵在直角中，
∴，即
∴，即.
【点睛】
本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.
23．设函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）证明：，恒成立.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）将不等式化为，利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）将要证明的不等式转化为证，恒成立，由的最小值为，得到只要证，即证，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.
【详解】
（1）∵，∴，即
当时，不等式化为，∴
当时，不等式化为，此时无解
当时，不等式化为，∴
综上，原不等式的解集为
（2）要证，恒成立
即证，恒成立
∵的最小值为－2，∴只需证，即证
又
∴成立，∴原题得证
【点睛】
本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.
