2020届福建省厦门市高中毕业班线上质量检查数学（理）试题（解析版）

2020届福建省厦门市高中毕业班线上质量检查数学（理）试题

一、单选题

1．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（    ）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】利用复数除法运算化简，根据其为纯虚数，实部为零、虚部不为零，求得的值.

【详解】

依题意，为纯虚数，故，解得.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解指数不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.

【详解】

由得，由于，所以.由，解得或，所以.所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查指数不等式的解法、一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

3．随机变量，若，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据正态分布的对称性列方程，解方程求得的值.

【详解】

由于随机变量，满足，，

，根据正态分布的对称性可知.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

4．直线过抛物线：（）的焦点，且与交于，两点，，若的中点到轴的距离为1，则的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】根据抛物线中，过焦点的弦长公式列方程，由此求得的值.

【详解】

设,由于的中点到轴的距离为，所以.根据抛物线中过焦点的弦长公式得，即.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查抛物线中过焦点的弦长公式，属于基础题.

5．斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…是意大利数学家列昂纳多.斐波那契发明的.如图是一个与斐波那契数列有关的程序框图.若输出的值为88，则判断框中应该填入（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】运行程序，根据输出的的值为，判断出正确选项.

【详解】

运行程序，，，，判断否，，，判断否，，判断否，，判断否，，判断是，输出.故应填

故选：C

【点睛】

本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果填写条件，属于基础题.

6．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．

【详解】

∵非零向量，满足，
∴平方得，即 ，
则，由，
平方得得，即则，

则向量与的夹角的余弦值 ， ，
故选D.

【点睛】

本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．

7．已知两条直线，，两个平面，，，，则下列正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【解析】对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项.

【详解】

对于A选项，当时，画出图象如下图所示，由图可知，，故A选项正确.

对于B选项，当时，可能，如下图所示，所以B选项错误.

对于CD选项，当时，可能，如下图所示，所以CD选项错误.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题.

8．记数列的前项和为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据求得数列的通项公式，由此求得.

【详解】

依题意，

当时，，解得；

当时，由得，两式相减并化简得.

故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于基础题.

9．函数的定义域为，其导函数为，，且为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据以及为偶函数判断出函数的单调性和对称性，由此判断出和的大小关系.

【详解】

由于为偶函数，所以函数关于对称.由于，所以当时，递减，当时，，递增.所以.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题.

10．在三棱锥中，，，，，分别是棱，的中点，以下三个结论：①；②平面；③与一定不垂直，其中正确结论的序号是（    ）

A．② B．①② C．②③ D．①②③

【答案】B

【解析】通过线面垂直的性质，证得①正确.通过线面平行的判定定理，证得②正确.当时，可推出，由此判断③错误.

【详解】

对于①，设是的中点，连接，由于，，所以，所以平面，所以，故①正确.

对于②，由于，分别是棱，的中点，所以，所以平面，故②正确.

对于③，当时，由于，所以平面，所以，故③错误.

综上所述，正确的为①②.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查线面平行、线线垂直的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于的渐近线的直线交于点．若，则的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：取双曲线的渐近线为，因为，，

所以过作平行于渐近线的直线的方程为，

因为，所以直线的方程为，

联立方程组可得点的坐标为，因为点在双曲线上，

所以，即，

因为，所以，整理得，因为，所以.故选D.

【考点】双曲线的性质.

12．定义.若函数，数列满足（），若是等差数列，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】求得的解析式，根据是等差数列，取得的取值范围.

【详解】

由于定义，而函数，由解得或，画出的图像如下图所示，

由图可知.

由于数列满足（），且是等差数列.当时，，，……，推辞类推，数列 是首项为，公差为的等差数列，符合题意.

当时，，要使是公差为的等差数列，则需，解得或不符合.由，解得或.则当时，为常数列；当时，为常数列.此时为等差数列.

当时，由于，故不能构成公差为的等差数列，也不是常数列，不符合题意.

综上所述，的取值范围是

故选：C

【点睛】

本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查等差数列的知识的运用，属于中档题.

二、填空题

13．记等差数列的前项和为，若，则______.

【答案】27

【解析】根据等差数列的性质，求得的值.

【详解】

由于数列是等差数列，则.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.

14．将2名教师，6名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和3名学生组成，不同的安排方案总数为______.

【答案】40

【解析】先安排一个老师到甲地，然后安排三个学生到甲地，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数.

【详解】

先安排一个老师到甲地方法数有种，再安排三个学生到甲地方法数有种，其余老师和学生到乙地，根据分步计数原理求得不同的安排方案总数为种.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查分步乘法计数原理，考查组合数的计算，属于基础题.

15．已知函数（，）图象的一个对称中心为，一条对称轴为，且的最小正周期大于，则______.

【答案】

【解析】根据的对称中心、对称轴和最小正周期的范围列方程和不等式，由此求得的值.

【详解】

由于函数（，）图象的一个对称中心为，一条对称轴为，且的最小正周期大于，所以，第二个式子减去第一个式子并化简得，由于，所以取，，代回第一个式子得，由于，故取，.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数的对称中心、对称轴、周期求参数，属于中档题.

16．函数有两个零点，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】令，转化为的图象有两个交点，结合导数与切线，求得的取值范围.

【详解】

由解得的定义域为.令，得，依题意 的图象有两个交点.令，则，所以是奇函数，且在区间上递增，且.

当时，，只有一个交点，不符合题意.

当时，画出图象如下图所示，，所以，即在处切线的斜率为，切线方程为.要使的图象有两个交点，则需.

同理，当时，在处切线的斜率为，切线方程为，要使的图象有两个交点，则需.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题

17．的内角，，所对的边分别为，，.已知.

（1）求的大小；

（2）若在边上，，的面积为，求.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换，由此求得的值，进而求得的大小.

（2）利用三角形的面积求得，由余弦定理求得，利用勾股定理证得，由此求得进而求得的值.

【详解】

（1）因为，

所以，

所以，

即，

因为在中，，，

所以，且，

所以，

因为，所以.

（2）因为，所以，，，

因为的面积为，所以，解得，

由余弦定理得，

所以，即，

所以，

所以.

【点睛】

本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想.

18．如图，三棱柱中，，，平面.

（1）求证：；

（2）若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）首先由平面证得，根据四边形是菱形证得，由此证得平面，进而证得.

（2）首先根据“直线与平面所成的角为”得到.以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：因为平面，所以，

因为，所以四边形是菱形，所以，

因为，所以平面，

所以.

（2）因为与平面所成的角为，，

所以与平面所成的角为，

因为平面，

所以与平面所成的角为，

所以，

令，则，，，

以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，

因为，

所以，平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，，

所以，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题主要考查直线与平面位置关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想.

19．某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识有奖竞赛活动，并对参加活动的男生、女生各随机抽取20人，统计答题成绩，分别制成如下频率分布直方图和茎叶图：

（1）把成绩在80分以上（含80分）的同学称为“安全通”.根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是“安全通”与性别有关

（2）以样本的频率估计总体的概率，现从该校随机抽取2男2女，设其中“安全通”的人数为，求的分布列与数学期望.

附：参考公式，其中.

参考数据：

【答案】（1）填表见解析；没有95%的把握认为“安全通”与性别有关（2）详见解析

【解析】（1）根据题目所给数据，计算并填写好列联表.计算出的值，由此判断没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.

（2）根据相互独立事件概率乘法公式，结合男生、女生中安全通的人数，计算出分布列，进而求得数学期望.

【详解】

（1）由题知，女生样本数据中“安全通”为6人，非“安全通”为14人，男生样本中“安全通”人数为人，非“安全通”的人数为8人，列出列联表如下：

假设：“安全通”与性别无关，

所以的观测值为，

所以没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.

（2）由题知，随机选1女生为“安全通”的概率为0.3，选1男生为“安全通”的概率为0.6，的可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

，

，

，

所以的分布列为

所以.

【点睛】

本题考查茎叶图与直方图的应用，考查列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查数据处理能力、求解运算能力，考查样本估计总体思想.

20．已知点，分别在轴，轴上运动，，点在线段上，且.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线与交于，两点，，若直线，的斜率之和为2，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）直线恒过定点

【解析】（1）设，由此得出两点的坐标，根据列方程，化简后求得点的轨迹方程.

（2）设，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线方程和轨迹的方程，写出判别式和韦达定理，根据直线，的斜率之和为2列方程，求得的关系式，由此判断直线过点.当直线斜率不存在时，同样利用直线，的斜率之和为2列方程，由此求得直线的方程，此时直线也过点，由此判断出直线恒过定点.

【详解】

（1）设，

因为点在线段上，且，所以，，

因为，所以，即，

所以点的轨迹的方程为.

（2）设，，

当的斜率存在时，设：，

由得，

所以，即，

，，

因为直线，的斜率之和为2，所以，

所以，即，所以，

当时，满足，即，符合题意，

此时：恒过定点，

当的斜率不存在时，，，

因为直线，的斜率之和为2，所以，

所以，此时：，恒过定点，

综上，直线恒过定点.

【点睛】

本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化思想.

21．已知函数（，是自然对数的底数）.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】（1）求得的导函数，对分成和两种情况，分类讨论的单调区间.

（2）首先判断.解法一：构造函数，求得的导函数，对分成，两种情况进行分类讨论，结合求得的取值范围.解法二：当时，根据的单调性证得.当时，同解法一，证得此时不满足.

【详解】

（1），

当时，，在上单调递减；

当时，由得，所以在上单调递减；

由得，所以在上单调递增.

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）解法一：

当时，，即，

所以，

令，

则

若，则当时，，所以在上单调递增；

当时，

，

所以当时，单调递增，所以.

若，则，

，

由得，

所以，

所以，使得，且当时，，

所以在上单调递减，

所以当时，，不合题意.

综上，的取值范围为.

解法二：

当时，，即，

所以，

若，由（1）知：在上单调递增，

因为，所以，所以在上单调递增，

所以当时，.

若，

令，

则

所以，

，

由得，

所以，

所以，使得，且当时，，

所以在上单调递减，

所以当时，，不合题意.

综上，的取值范围为.

【点睛】

本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.

（1）写出的极坐标方程；

（2）设点的极坐标为，射线分别交，于，两点（异于极点），当时，求.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用，消去的参数将的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.

（2）将射线分别于的极坐标方程联立，求得两点对应的，由此求得的表达式，求得的表达式，根据列方程，由此求得的值.

【详解】

（1）∵（为参数）

∴曲线的普通方程为，即

∵，，∴

∴曲线的极坐标方程为

（2）依题意设，，

∴由得.由得.

∵，∴.

∴.

∵是圆的直径，∴.

∴在直角中，

∵在直角中，

∴，即

∴，即.

【点睛】

本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.

23．设函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）证明：，恒成立.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）将不等式化为，利用零点分段法，求得不等式的解集.

（2）将要证明的不等式转化为证，恒成立，由的最小值为，得到只要证，即证，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.

【详解】

（1）∵，∴，即

当时，不等式化为，∴

当时，不等式化为，此时无解

当时，不等式化为，∴

综上，原不等式的解集为

（2）要证，恒成立

即证，恒成立

∵的最小值为－2，∴只需证，即证

又

∴成立，∴原题得证

【点睛】

本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.