2020届安徽省马鞍山市高三毕业生第一次教学质量监测文科数学试题
展开2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测
文科数学试题
本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡 “条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（▲）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（▲）
A． B． C． D．
3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（▲）
A． B． C． D．
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地……．则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（▲）里．
A． B． C． D．
5．现有甲、乙、丙、丁名学生平均分成两个小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（▲）
A． B． C． D．
6．已知函数，满足，且在内恰有一个最大值点和一个最小值点，则的值为（▲）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则此双曲线渐近线方程为（▲）
A． B． C． D．
8．某几何体三视图如图所示，其体积为，则该几何体的
外接球体积为（▲）
A．
B．
C．
D．
9．已知等差数列，，数列满足，则 （▲）
A． B． C． D．
10．已知是偶函数，当时，，若，则的取值范围是（▲）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆的左顶点和左焦点分别为和，，直线交椭圆于两点（在第一象限），若线段的中点在直线上，则该椭圆的方程为（▲）
A． B．
C． D．
12．已知，当时，在上（▲）
A．有最大值没有最小值 B．有最小值没有最大值
C．既有最大值也有最小值 D．既无最大值也无最小值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量满足,且,则的最大值是 ▲ ．
14．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出（单位：万元）与年销售额（单位：万元）进行了初步统计，如下表所示．
年广告支出/万元 | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
年销售额/万元 | 28 | 37 | 60 | 70 |
经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为 ▲ ．
15．已知数列的前项和为，，，则 ▲ ．
16．如图，点在正方体的棱上（不含端点），给出下列五个命题：
①过点有且只有一条直线与直线，都是异面直线；
②过点有且只有一条直线与直线，都相交；
③过点有且只有一条直线与直线，都垂直；
④过点有无数个平面与直线，都相交；
⑤过点有无数个平面与直线，都平行；
其中真命题是 ▲ ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17． (12分)
某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图，估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数（保留到0.01）；
（2）该校高一年级共有1000名学生，若本次考试成绩90分以上（含90分）为“优秀”等次，则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数．
18．(12分)
已知的内角的对边分别为．已知．
（1）求的取值范围；
（2）当取最大值时，若，求的面积．
19．(12分)
在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
（1）求的值；
（2）若点在线段（不含端点）上运动，，求四边形面积的最小值．
20．（12分）
如图，四棱锥中，底面是菱形，平面，，是上一动点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．
21．（12分）
已知函数，其中．
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上单调递增，则当时，求证：
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点在射线上，且点到极点的距离为．
（1）求曲线的普通方程与点的直角坐标；
（2）求的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）若函数有零点，求实数的取值范围；
（2）记（1）中实数的最大值为，若，均为正实数，且满足，
求的最小值．
2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测
文科数学试题
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | C | D | A | B | D | A | B | C | D | C | B |
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 55 15. 6. ②③④
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17． (12分)
【解】（1）设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为
因为前2组的频率之和为，因为前3组的频率之和为，所以，
由，得．
，
所以，这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为，…………………..6分
（2）因为样本中90分及以上的频率为，
所以该校高一年级1000名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到
“优秀”等次的人数为人． …………………..12分
18．(12分)
【解】（1）由已知可得
又，故 …………………..6分
(2) 由（1）知，易得；
又，所以；
所以的面积． …………………..12分
19．(12分)
【解】（1）由题知，设，代入到中，
得设，则，
所以所以 …………………..6分
（2）因为，所以是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，
所以四边形的面积等于．
而
所以时，四边形的面积最小，最小值为． …………………..12分
20．（12分）
【证明】（1）平面，平面，．
底面是菱形，．
又，平面，平面，
平面．
又平面，
平面平面． …………………..5分
（2）设菱形的边长为，，
．
在中，
．又 平面，，，，．
又，
，，，
． 又平面， ，
四棱锥的侧面积为
． …………………..12分
21．（12分）
【解】（1）当时，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
． …………………..5分
（2）
恒成立
恒成立． …………………..8分
则由（1）可得：．
又
…………………..12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解】（1）曲线的普通方程为，
点的极坐标为，直角坐标为． …………………..5分
（2）（方法一）圆心，，
点到的距离，且，
所以 ． …………………..10分
（方法二）圆心，其极坐标为，而，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，，所以 ．
所以 ．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解】（1）依题意可知二次方程有解，
，即．
①当时，，；
②当时，恒成立，；
③当时，，．
综上所述，可得． ………………….5分
（2）由（1）知，
（方法一：利用基本不等式）∵，
∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号．…………………..10分
（方法二：利用二次函数求最值）∵，∴，
∴，
∴的最小值为，当且仅当时取等号．
（方法三：利用柯西不等式）∵，
∴，∴的最小值为，当且仅当时取等号．
