安徽省马鞍山市2020届高三第一次教学质量检测数学（文）试卷
展开数学试题
本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡 “条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（▲）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（▲）
A． B． C． D．
3．命题，则命题的否定是（▲）
A． B．
C． D．
4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（▲）
A．乙所得分数的极差为26
B．乙所得分数的中位数为19
C．两人所得分数的众数相同
D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
5．已知,，，，则下列不等关系中正
确的是（▲）
A. B. C. D.
6．函数的图像平移后对应的函数为，若为偶函数，则的最小值为（▲）
A． B． C． D．
7． 已知函数，则的图像大致为（▲）
A． B． C． D．
8．已知，为两条不同直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（▲）
①若， ，则； ②若， ，则；
③若， ，，则； ④若， ，，则；
A． B． C．3 D．4
9．已知三内角满足且，则下列结论正确的是（▲）
A． B． C． D．
10．若点为抛物线上一点,是抛物线的焦点，，点为直线上的动点，则
的最小值为（▲）
A． B． C． D．8
11．已知三棱锥中，，，，平面平面，则此三棱锥的外接球的表面积为（▲）
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为，是的导函数.若，则关于的不等式的解集为（▲）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量， ，且，则 ▲ ．
14．已知六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概率为 ▲ ．
15．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点到渐近线的距离为 ▲ ．
16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选.根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是 ▲ ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共60分。
17． (12分)
记是等差数列的前项和，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）
如图，在长方体中，，，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求多面体的体积．
19．（12分）
已知椭圆: ，点分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上一点.
（1）若直线的斜率为2，求直线的斜率；
（2）若点的坐标为，斜率为的直线与椭圆相交于（异于点）两点.证明：的斜率的和为定值.
20． (12分)
为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．
表1 | |||
| 患感冒人数 | 不患感冒人数 | 合计 |
男生 | 30 | 70 | 100 |
女生 | 42 | 58 |
|
合计 |
|
| 200 |
表2 | |||||
温差 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
患感冒人数 | 8 | 10 | 14 | 20 | 23 |
（1）写出的值；
（2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；
（3）根据表2数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（若，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）．
附：参考公式： , .
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
，，，．
21． (12分)
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求．
23．[选修4-5 不等式选讲]（10分）
已知为实数，且满足.证明：
（1）
（2）
文科数学参考答案
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | C | D | D | B | A | B | D | B | B | C |
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15. 16. 乙、丁
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17． (12分)
【解】（1）设等差数列的公差为，根据题意得：
解得
所以； ……………………….6分
（2） 由（1）可得， ………………………8分
所以． ……………12分
18．(12分)
【证明】（1）如图，连接， ，．
，．
又，，平面，平面，
平面．
又平面，平面平面． ……………………….6分
【解】（2） …….…….8分
…. ……. ……. ……. ……. …….12分
19．(12分)
【解】（1）设由题知：，于是：
，两式相乘，得：
在上，，代入得：,,
所以，直线的斜率为. ………………………………………………….. 5分
【证明】（2）设直线：
由 可得，由得：，
由根与系数关系得 （*） …………………………………8分
将（*）式代入得：，
所以之和为定值. …………………………………..12分
20．（12分）
【解】（1）根据表中数据可得： ……………………….3分
（2）依题意，
所以没有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性．
……………………….7分
（3）依题意，，
所以，则
故说明与的线性相关性很强． ……………………….12分
21．（12分）
【解】（1）由已知，，，令得：， …………………….2分
当时， ，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
综上，的单调减区间为，单调增区间为. …………………….5分
（2）恒成立，即等价于恒成立
令，则. …………………….7分
令则在上恒成立.
在上单调递增，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增 . …………………….10分
综上可得，的取值范围是 .. …………………….12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解】（1）曲线的直角坐标方程为， …………………….3分
直线的直角坐标方程为． …………………….5分
（2）由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，
以为极点，轴的正方向为极轴方向重新建立极坐标系，
在此极坐标系中，直线的方程为或（其中为直线的倾斜角，满足），
不妨设，，抛物线的方程为，
将代入得，将代入得，
所以和是方程的两根，
由韦达定理得，， （8分）
所以． （10分）
（2）另证:由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，
不妨设
由
由韦达定理: （8分）
(10分)
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解】（1）由已知可得：
……………………….5分
（2）
根据柯西不等式可得：
……………………….10分
注：其他正确的方法不扣分．
安徽省马鞍山市2023届高三第一次教学质量监测数学一模试卷+答案： 这是一份安徽省马鞍山市2023届高三第一次教学质量监测数学一模试卷+答案，共8页。
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