还剩13页未读，
继续阅读
2020届江西省赣州市石城中学高三下学期第三次（线上）考试数学（文）试题 （解析版）
展开
石城中学2020届高三下学期第三次（线上）考试
数学（文)试题
分值：150分 考试时间：120分钟
本次命题范围：高考范围 下次命题范围：高考范围
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
INPUT a，b
IF a
ELSE
y＝a2－b
END IF
PRINT y
END
2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．0 C．－ D．－1
3．执行如图程序语句，输入a＝2cos，b＝2tan，则输出y的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．－1
4.某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
5.在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝（ ）.
A. B. C. D.
6. 在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于的概率为( )
A. B. C. D.
7.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当=时，函数单调递增区间为（ ）
A. B.(0,+ C. D.(1,+
8.在中，已知AD为BC边上的高，AE为的平分线，AB=4,,则=( )
A.. B.. C. D.
9．如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，,,为上的动点，将平面进行翻转，使之与平面在同一平面上，则的最小值为( )
A． B． C．5 D．
10.已知， 是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于， 两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.(错题再现)已知向量，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知对任意实数都有，，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13．（错题再现）在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
14. 已知函数 与轴的交点为,且图象上两对称轴之间的最小距离为,则使成立的的最小值为 .
15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如≈23，≈23) 平方尺。
16．给出下列命题：
（1）若函数在（1，+）上是减函数，则；
(2)直线与线段相交，其中A（1，1），B（4，2）,则的取值范围是；
（3）点（1，0）关于直线的对称点为，则的坐标为（；
（4）直线与抛物线交于A,B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切。其中正确的命题有 。（把所有正确的命题的序号都填上）
三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题至21题为必答题，,第22题第23题为选答题.
(一)必答题（每题12分，共60分）
17．已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．如图1，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图2所示的四棱锥PABCE.
(1)求证：AP⊥平面ABCE；
(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.
19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
60
110
210
340
660
1 010
1 960
根据以上数据，绘制了散点图．
iyi
ivi
100.54
621
2.54
25 350
78.12
3.47
参考数据：
其中vi＝lg yi，＝i.
(1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．
参考公式：
对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋μ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝，＝－ .
20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的最大值．
21（错题再现）.已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．
(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选做题：10分.考生在22题和23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题给分.
22.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
23．(2019·长春质检)已知函数f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.
(1)求f(x)<2的解集；
(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤T.
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
解析：选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x”．
2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．0 C．－ D．－1
【详解】设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，
∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1.
故选：D.
3．执行如图程序语句，输入a＝2cos，b＝2tan，则输出y的值是( )
INPUT a，b
IF a
ELSE
y＝a2－b
END IF
PRINT y
END
A．3 B．4 C．6 D．－1
[解析] 根据条件语句可知程序运行后是计算y＝且a＝2cos＝2cos π＝－2，b＝2tan＝2tan ＝－2.
因为a≥b，所以y＝a2－b＝(－2)2－(－2)＝6，
即输出y的值是6.
[答案] C
4.某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
[解析] 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.
[答案] C
提分技巧：
频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
5.在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝（ ）.
A. B. C. D.
解析：∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，
∵sin B＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝，
即1－2sin2A＝，∴sin A＝.
6. 在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 在区间[0,2]中随机取两个数，构成的区域如图中大正方形，又“这两个数中较大的数大于”为“这两个数都小于或等于”的对立事件，且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于所构成的平面区域的面积为×＝，故两个数中较大的数大于的概率P＝1－＝.
7.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当=时，函数单调递增区间为（ ）
A. B.(0,+ C. D.(1,+
答案：C
8.在中，已知AD为BC边上的高，AE为的平分线，AB=4,,则=( )
A.. B.. C. D.
答案：A
9．如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，,,为上的动点，将平面进行翻转，使之与平面在同一平面上，则的最小值为( )
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】
易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.
【详解】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得 .
10.已知， 是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于， 两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，选B．
11.(错题再现)已知向量，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：选D
12. 已知对任意实数都有，，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设， ，
，即，
， ，
不等式
当时，，即 ，
设，，
当时， ，单调递减， 当时，，单调递增，
当时，函数取得最小值，，
当时，，
故选：B
【点睛】
本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，，，
，
二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13．（错题再现）在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝4an＋1，得an＋1＋＝4，所以是首项为a1＋＝，公比为4的等比数列，所以an＋＝·4n－1，故an＝·4n－1－.
答案：an＝·4n－1－
14. 已知函数 与轴的交点为,且图象上两对称轴之间的最小距离为,则使成立的的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意：函数f（x）与y轴的交点为（0,1）,可得：1=2sinφ,sinφ=,
∵0＜φ＜,∴φ=,
两对称轴之间的最小距离为可得周期T=π,解得：ω=2．所以：f（x）=2sin（2x+ ）,
由f（x+t）﹣f（﹣x+t）=0,可得：函数图象关于x=t对称．求|t|的最小值即可是求对称轴的最小值,
∵f（x）=2sin（2x+ ）的对称轴方程为：2x+ = （k∈Z）,可得：x=时最小.
15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如≈23，≈23) 平方尺。
解：1035平方尺
16．给出下列命题：
（1）若函数在（1，+）上是减函数，则；
(2)直线与线段相交，其中A（1，1），B（4，2）,则的取值范围是；
（3）点（1，0）关于直线的对称点为，则的坐标为（；
（4）直线与抛物线交于A,B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切。其中正确的命题有 。（把所有正确的命题的序号都填上）
答案：(3)、(4)
三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题至21题为必答题，,第22题第23题为选答题.
(一)必答题（每题12分，共60分）
17．已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2)，
所以Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1(n≥2)，………………………………………………..…..2分
即an＋1＝2an(n≥2)，所以an＋1＝2n＋1，则an＝2n，当n＝1时，也满足，故数列{an}的通项公式为an＝2n…………………………………………………………………………….…4分
(2)因为bn＝＝(n＋1)n，
所以Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)×n，①
Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋n×n＋(n＋1)×n＋1，②………………6分
①－②得Tn＝2×＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1
＝＋1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1 ………………………………………………………8分
＝＋－(n＋1)n＋1…………………………………………………………………………………….10分
＝＋1－n－(n＋1)n＋1
＝－...........................................................................................................................12分
故数列{bn}的前n项和为Tn＝3－.
18．如图1，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图2所示的四棱锥PABCE.
(1)求证：AP⊥平面ABCE；
(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.
证明：(1)在△CDE中，∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，
由余弦定理得CE＝ ＝2……………………1分
连接AC，
∵AE＝2，∠AEC＝60°，
∴AC＝2…………………………………………………………………………….2分
又AP＝，
∴在△PAE中，AP2＋AE2＝PE2，
即AP⊥AE…………………………………………………………………………3分
同理，AP⊥AC……………………………………………………………………4分
∵AC∩AE＝A，AC⊂平面ABCE，AE⊂平面ABCE，
∴AP⊥平面ABCE……………………………………………………………… 6分
(2)∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，…………………………..8分
∴AB∥平面PCE…………………………………………………………………10分
又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l…………………………………………………12分
19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
60
110
210
340
660
1 010
1 960
根据以上数据，绘制了散点图．
iyi
ivi
100.54
621
2.54
25 350
78.12
3.47
参考数据：
其中vi＝lg yi，＝i.
(1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．
参考公式：
对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋μ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝，＝－ .
解：(1)根据散点图可以判断，y＝c·dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型．……………………………………………………………………..………2分
(2)y＝c·dx两边同时取常用对数，得lg y＝lg(c·dx)＝lg c＋xlg d，…………………..3分
设lg y＝v，则v＝lg c＋xlg d…………………………………………….……………4分
∵＝4，＝2.54，＝140，
∴lg d＝≈＝0.25，…………………...………6分
把(4,2.54)代入v＝lg c＋xlg d，得lg c＝1.54，…………………………….……..8分
∴＝1.54＋0.25x，∴＝101.54＋0.25x＝101.54·(100.25)x………………………..……10分
把x＝8代入上式，得＝101.54＋0.25×8＝103.54＝103×100.54＝3 470，…………..12分
∴y关于x的回归方程为＝101.54·(100.25)x，活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.
20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的最大值．
[解] (1)由题意，得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1……………………………………………..4分
(2)由(1)得F1(－1,0)，F2(1,0)．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M，N，……………………………………………………………………………..5分
∴＝，＝，
故·＝..............................................................................................................6分
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，………………………..7分
由消去y得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，……………………8分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.................................................................................9分
又＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2
＝＋＋1＋k2
＝＝－，…………………………………………………………..11分
由k2≥0，可得·∈…………………………………………………12分
综上，·的最大值为.
21（错题再现）.已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．
(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，………………………..1分
f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，…………………………………………………2分
所以所求切线方程为2x－y＋1＝0………………………………………………….4分
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，由题意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，
因为h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax，………………………………………………..5分
所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)．……………………………………………………….6分
①若a≥0，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在 [0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(0)＝a－1，则a－1≥0，得a≥1……………………………….8分
②若a<0，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0；
当x∈(－a，＋∞)时，h′(x)>0，
所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(－a)，
又因为h(－a)
（二）选做题：10分.考生在22题和23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题给分.
22.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1………………………………………..1分
当α＝时，l与⊙O交于两点．…………………………………………………2分
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－……………………………..3分
l与⊙O交于两点需满足<1，
解得k<－1或k>1，………………………………………………………………..4分
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是………………………………………………………5分
(2)l的参数方程为………………………..6分
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0…………………………………7分
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α…………………………………………………...8分
又点P的坐标(x，y)满足…………………………………..9分
所以点P的轨迹的参数方程是………10分
23．(2019·长春质检)已知函数f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.
(1)求f(x)<2的解集；
(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤T.
解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝.........................2分
作出函数f(x)的图象如图所示．………………………………………………………4分
由图象可知，f(x)<2的解集为………………………………………………..6分
(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1，…………………………………………….8分
由基本不等式可知≤ ＝ ＝，…………………………………9分
当且仅当a＝b时，“＝”成立，即＋≤1＝T………………………………..10分
数学（文)试题
分值：150分 考试时间：120分钟
本次命题范围：高考范围 下次命题范围：高考范围
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
INPUT a，b
IF a
ELSE
y＝a2－b
END IF
PRINT y
END
2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．0 C．－ D．－1
3．执行如图程序语句，输入a＝2cos，b＝2tan，则输出y的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．－1
4.某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
5.在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝（ ）.
A. B. C. D.
6. 在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于的概率为( )
A. B. C. D.
7.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当=时，函数单调递增区间为（ ）
A. B.(0,+ C. D.(1,+
8.在中，已知AD为BC边上的高，AE为的平分线，AB=4,,则=( )
A.. B.. C. D.
9．如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，,,为上的动点，将平面进行翻转，使之与平面在同一平面上，则的最小值为( )
A． B． C．5 D．
10.已知， 是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于， 两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.(错题再现)已知向量，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知对任意实数都有，，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13．（错题再现）在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
14. 已知函数 与轴的交点为,且图象上两对称轴之间的最小距离为,则使成立的的最小值为 .
15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如≈23，≈23) 平方尺。
16．给出下列命题：
（1）若函数在（1，+）上是减函数，则；
(2)直线与线段相交，其中A（1，1），B（4，2）,则的取值范围是；
（3）点（1，0）关于直线的对称点为，则的坐标为（；
（4）直线与抛物线交于A,B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切。其中正确的命题有 。（把所有正确的命题的序号都填上）
三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题至21题为必答题，,第22题第23题为选答题.
(一)必答题（每题12分，共60分）
17．已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．如图1，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图2所示的四棱锥PABCE.
(1)求证：AP⊥平面ABCE；
(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.
19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
60
110
210
340
660
1 010
1 960
根据以上数据，绘制了散点图．
iyi
ivi
100.54
621
2.54
25 350
78.12
3.47
参考数据：
其中vi＝lg yi，＝i.
(1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．
参考公式：
对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋μ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝，＝－ .
20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的最大值．
21（错题再现）.已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．
(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选做题：10分.考生在22题和23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题给分.
22.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
23．(2019·长春质检)已知函数f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.
(1)求f(x)<2的解集；
(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤T.
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
解析：选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x”．
2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．0 C．－ D．－1
【详解】设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，
∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1.
故选：D.
3．执行如图程序语句，输入a＝2cos，b＝2tan，则输出y的值是( )
INPUT a，b
IF a
ELSE
y＝a2－b
END IF
PRINT y
END
A．3 B．4 C．6 D．－1
[解析] 根据条件语句可知程序运行后是计算y＝且a＝2cos＝2cos π＝－2，b＝2tan＝2tan ＝－2.
因为a≥b，所以y＝a2－b＝(－2)2－(－2)＝6，
即输出y的值是6.
[答案] C
4.某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
[解析] 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.
[答案] C
提分技巧：
频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
5.在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝（ ）.
A. B. C. D.
解析：∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，
∵sin B＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝，
即1－2sin2A＝，∴sin A＝.
6. 在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 在区间[0,2]中随机取两个数，构成的区域如图中大正方形，又“这两个数中较大的数大于”为“这两个数都小于或等于”的对立事件，且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于所构成的平面区域的面积为×＝，故两个数中较大的数大于的概率P＝1－＝.
7.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当=时，函数单调递增区间为（ ）
A. B.(0,+ C. D.(1,+
答案：C
8.在中，已知AD为BC边上的高，AE为的平分线，AB=4,,则=( )
A.. B.. C. D.
答案：A
9．如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，,,为上的动点，将平面进行翻转，使之与平面在同一平面上，则的最小值为( )
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】
易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.
【详解】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得 .
10.已知， 是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于， 两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，选B．
11.(错题再现)已知向量，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：选D
12. 已知对任意实数都有，，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设， ，
，即，
， ，
不等式
当时，，即 ，
设，，
当时， ，单调递减， 当时，，单调递增，
当时，函数取得最小值，，
当时，，
故选：B
【点睛】
本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，，，
，
二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13．（错题再现）在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝4an＋1，得an＋1＋＝4，所以是首项为a1＋＝，公比为4的等比数列，所以an＋＝·4n－1，故an＝·4n－1－.
答案：an＝·4n－1－
14. 已知函数 与轴的交点为,且图象上两对称轴之间的最小距离为,则使成立的的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意：函数f（x）与y轴的交点为（0,1）,可得：1=2sinφ,sinφ=,
∵0＜φ＜,∴φ=,
两对称轴之间的最小距离为可得周期T=π,解得：ω=2．所以：f（x）=2sin（2x+ ）,
由f（x+t）﹣f（﹣x+t）=0,可得：函数图象关于x=t对称．求|t|的最小值即可是求对称轴的最小值,
∵f（x）=2sin（2x+ ）的对称轴方程为：2x+ = （k∈Z）,可得：x=时最小.
15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如≈23，≈23) 平方尺。
解：1035平方尺
16．给出下列命题：
（1）若函数在（1，+）上是减函数，则；
(2)直线与线段相交，其中A（1，1），B（4，2）,则的取值范围是；
（3）点（1，0）关于直线的对称点为，则的坐标为（；
（4）直线与抛物线交于A,B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切。其中正确的命题有 。（把所有正确的命题的序号都填上）
答案：(3)、(4)
三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题至21题为必答题，,第22题第23题为选答题.
(一)必答题（每题12分，共60分）
17．已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2)，
所以Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1(n≥2)，………………………………………………..…..2分
即an＋1＝2an(n≥2)，所以an＋1＝2n＋1，则an＝2n，当n＝1时，也满足，故数列{an}的通项公式为an＝2n…………………………………………………………………………….…4分
(2)因为bn＝＝(n＋1)n，
所以Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)×n，①
Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋n×n＋(n＋1)×n＋1，②………………6分
①－②得Tn＝2×＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1
＝＋1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1 ………………………………………………………8分
＝＋－(n＋1)n＋1…………………………………………………………………………………….10分
＝＋1－n－(n＋1)n＋1
＝－...........................................................................................................................12分
故数列{bn}的前n项和为Tn＝3－.
18．如图1，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图2所示的四棱锥PABCE.
(1)求证：AP⊥平面ABCE；
(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.
证明：(1)在△CDE中，∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，
由余弦定理得CE＝ ＝2……………………1分
连接AC，
∵AE＝2，∠AEC＝60°，
∴AC＝2…………………………………………………………………………….2分
又AP＝，
∴在△PAE中，AP2＋AE2＝PE2，
即AP⊥AE…………………………………………………………………………3分
同理，AP⊥AC……………………………………………………………………4分
∵AC∩AE＝A，AC⊂平面ABCE，AE⊂平面ABCE，
∴AP⊥平面ABCE……………………………………………………………… 6分
(2)∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，…………………………..8分
∴AB∥平面PCE…………………………………………………………………10分
又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l…………………………………………………12分
19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
60
110
210
340
660
1 010
1 960
根据以上数据，绘制了散点图．
iyi
ivi
100.54
621
2.54
25 350
78.12
3.47
参考数据：
其中vi＝lg yi，＝i.
(1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．
参考公式：
对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋μ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝，＝－ .
解：(1)根据散点图可以判断，y＝c·dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型．……………………………………………………………………..………2分
(2)y＝c·dx两边同时取常用对数，得lg y＝lg(c·dx)＝lg c＋xlg d，…………………..3分
设lg y＝v，则v＝lg c＋xlg d…………………………………………….……………4分
∵＝4，＝2.54，＝140，
∴lg d＝≈＝0.25，…………………...………6分
把(4,2.54)代入v＝lg c＋xlg d，得lg c＝1.54，…………………………….……..8分
∴＝1.54＋0.25x，∴＝101.54＋0.25x＝101.54·(100.25)x………………………..……10分
把x＝8代入上式，得＝101.54＋0.25×8＝103.54＝103×100.54＝3 470，…………..12分
∴y关于x的回归方程为＝101.54·(100.25)x，活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.
20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的最大值．
[解] (1)由题意，得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1……………………………………………..4分
(2)由(1)得F1(－1,0)，F2(1,0)．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M，N，……………………………………………………………………………..5分
∴＝，＝，
故·＝..............................................................................................................6分
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，………………………..7分
由消去y得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，……………………8分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.................................................................................9分
又＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2
＝＋＋1＋k2
＝＝－，…………………………………………………………..11分
由k2≥0，可得·∈…………………………………………………12分
综上，·的最大值为.
21（错题再现）.已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．
(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，………………………..1分
f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，…………………………………………………2分
所以所求切线方程为2x－y＋1＝0………………………………………………….4分
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，由题意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，
因为h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax，………………………………………………..5分
所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)．……………………………………………………….6分
①若a≥0，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在 [0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(0)＝a－1，则a－1≥0，得a≥1……………………………….8分
②若a<0，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0；
当x∈(－a，＋∞)时，h′(x)>0，
所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(－a)，
又因为h(－a)
（二）选做题：10分.考生在22题和23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题给分.
22.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1………………………………………..1分
当α＝时，l与⊙O交于两点．…………………………………………………2分
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－……………………………..3分
l与⊙O交于两点需满足<1，
解得k<－1或k>1，………………………………………………………………..4分
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是………………………………………………………5分
(2)l的参数方程为………………………..6分
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0…………………………………7分
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α…………………………………………………...8分
又点P的坐标(x，y)满足…………………………………..9分
所以点P的轨迹的参数方程是………10分
23．(2019·长春质检)已知函数f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.
(1)求f(x)<2的解集；
(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤T.
解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝.........................2分
作出函数f(x)的图象如图所示．………………………………………………………4分
由图象可知，f(x)<2的解集为………………………………………………..6分
(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1，…………………………………………….8分
由基本不等式可知≤ ＝ ＝，…………………………………9分
当且仅当a＝b时，“＝”成立，即＋≤1＝T………………………………..10分
相关资料
更多
