2020届上海市崇明区二模数学试题（解析版）
展开2020届上海市崇明区二模数学试题
一、单选题
1．下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【详解】
由题意得，对于函数和函数都是非奇非偶函数，排除A、C．
又函数在区间上单调递减，在区间单调递增，排除D，故选B．
2．对于实数，“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解不等式得到，根据推出关系可确定结果.
【详解】
当时，
充分条件成立
必要条件不成立
“”是“”的充分不必要条件
故选：
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判定，属于基础题.
3．如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
【答案】B
【解析】【详解】
以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
设是运动轨迹上任一点，且，则，
所以，，
所以，即，即且，
所以点的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B．
点睛：本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立之间的关系；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．
4．在平面直角坐标系中，已知、．若对于轴上的任意个不同的点，总存在两个不同的点，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据角的范围可求得，，将分为间距为的四个等距区间，根据抽屉原理可得结果.
【详解】
， ，
将分为、、、四个区间
由抽屉原理可得：的最小值为
故选：
【点睛】
本题考查抽屉原理的应用，关键是能够根据正弦函数的值域将区间分成等距的部分，将问题转化为抽屉原理的应用问题.
二、填空题
5．已知全集，集合，，则_________．
【答案】
【解析】根据交集和补集的定义直接求解即可.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查集合运算中的交集和补集运算，属于基础题.
6．函数的最小正周期是______．
【答案】p
【解析】，周期.
7．函数，的反函数为，则________
【答案】2
【解析】求出原函数的反函数，取x＝4即可求得f﹣1（4）．
【详解】
由y＝f（x）＝x2（x＞0），
得x，
则函数f（x）＝x2（x＞0）的反函数为y＝f﹣1（x），
∴f﹣1（4）．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题．
8．若复数满足（为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数的值为______.
【答案】
【解析】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，即可求出a的值.
【详解】
由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.
故答案为：-2
【点睛】
本题主要考查复数的计算，考查复数实部与虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.
9．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，且经过点，则该椭圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】根据焦距和与轴交点得到，由求得，进而得到标准方程.
【详解】
椭圆焦距为
又焦点在轴上，经过点
椭圆的标准方程为
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.
10．若的展开式中的系数为160，则__________．
【答案】2
【解析】根据二项式定理展开式的通项，可求得r的值，进而利用的系数求得a的值。
【详解】
由已知得，
故当时，，
于是有，
则，
所以.
【点睛】
本题考查了二项式定理及通项式的应用，根据其中一项的系数求得参数，属于基础题。
11．已知直线与平行，则的值是__________．
【答案】3或5
【解析】由两直线平行得，当时，两直线的方程分别为与，显然两直线平行，当时，由，可得，综上所述， 的值是或，故答案为或.
【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
12．已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】
【解析】根据母线与底面所成角得到，利用体积构造方程求得，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式求得结果.
【详解】
母线与底面所成角为 圆锥的高与底面半径的关系为：
圆锥体积，解得：
圆锥母线长： 圆锥侧面积：
故答案为：
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的求解，涉及到圆锥体积公式的应用，属于基础题.
13．已知是公比为的等比数列的前项和．若对任意的，都有成立，则___________．
【答案】
【解析】当或时，可根据等比数列求和公式验证出极限不存在，不符合题意；当时，由等比数列求和公式和通项公式可构造出关于的方程，解方程求得结果.
【详解】
①当时，，极限不存在，不合题意
②当时，
当或时，极限不存在，不合题意
当时，
又 ，即
解得：（舍）或
综上所述：
故答案为：
【点睛】
本题考查等比数列通项公式和前项和公式的应用，涉及到极限思想的运用；关键是能够通过分类讨论确定存在极限的情况下的取值范围.
14．甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为________（用数字作答）．
【答案】
【解析】由排列组合分组分配方法求得所有可能的情况、甲乙在同一路口的情况种数；根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】
名同学到个路口疏导交通所有可能的情况有：种
其中甲、乙在同一路口的情况有：种
甲、乙在同一路口的概率
故答案为：
【点睛】
本题考查古典概型的概率问题的求解，涉及到排列组合中的分组分配方法的应用.
15．已知函数在区间上的最大值是10，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】先求出x∈[6，10]，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值，即可求出a的范围．
【详解】
当x∈[1，9]，x∈[6，10]，
①当a≥10时，f（x）＝2a﹣x，f（x）max＝2a﹣6＝10，∴a＝8，舍去
②当a≤1时，f（x）＝x10，此时命题成立；
③当1＜a＜10时，f（x）max＝max{|6﹣a|+a，|10﹣a|+a}，
则或，
解得a＝8或a＜8，
综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，8]．
【点睛】
本题考查根据函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够利用最值构造出与函数值域有关的不等式，通过求解函数的值域求得结果.
16．已知点是平面上一点，．若，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】根据三角形两边之和大于第三边可知当在线段上时，，可知，利用平方运算，结合基本不等式可求得；通过平方运算求得，进而得到结果.
【详解】
当在线段上时，取得最大值
，即
设，
（当且仅当时取等号）
，解得：（当且仅当时取等号）
，即的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查向量模长最值的求解，关键是能够通过平方运算和基本不等式求得的最大值，从而将所求向量模长最值转化为与有关的不等式的运算问题.
三、解答题
17．已知在直三棱柱中，，直线与平面ABC成的角．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）根据侧棱与底面垂直可得，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得平面，得到三棱锥的高为；利用等体积法，根据三棱锥体积公式求得结果；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）三棱柱为直三棱柱 平面，底面
与底面所成角为
底面，平面
又，即，平面，
平面，又 平面
（2）以为原点，可建立如图所示空间直角坐标系
则，，，
，，，
设平面的法向量
，令，则，
设平面的法向量
，令，则，
二面角为锐角 二面角的余弦值为
【点睛】
本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.
18．已知函数
（1）已知，求实数a的值；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性．
【答案】（1）（2）函数在区间上单调递增，证明见解析
【解析】（1）将代入解析式可构造方程，解方程求得结果；
（2）任取，可判断出，根据单调性的定义得到结果.
【详解】
（1） ，即
解得：
（2）任取，且
，，
在区间上单调递增
【点睛】
本题考查根据函数值求解参数、定义法求解函数的单调性的问题，属于基础题.
19．某公园内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中，，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求）.设，.
（1）当时求舞台表演区域的面积；
（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
【答案】（1）平方米（2）对于任意α，上述设计方案均能符合要求，详见解析
【解析】（1）由已知求出的弧度数，再由扇形面积公式求解；（2）过作垂直于，垂直为，可求，，由图可知，点处观众离点处最远，由余弦定理可得，由范围，利用正弦函数的性质可求，由，可求上述设计方案均能符合要求．
【详解】
（1）当时，
所以舞台表演区域的面积平方米
（2）
作于H，则
在中，
因为，所以当时，
所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
20．对于直线与抛物线，若与有且只有一个公共点且与的对称轴不平行（或重合），则称与相切，直线叫做抛物线的切线．
（1）已知是抛物线上一点，求证：过点的的切线的斜率；
（2）已知为轴下方一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．求证：成等差数列；
（3）如图所示，、是抛物线上异于坐标原点的两个不同的点，过点的的切线分别是，直线交于点，且与轴分别交于点．设为方程的两个实根，表示实数中较大的值．求证：“点在线段上”的充要条件是“”．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【解析】（1）将抛物线方程变为，利用导数的几何意义证得结论；
（2）利用点斜式写出直线，联立可求得交点横坐标为，即，证得结论；
（3）首先联立方程，可求得点坐标，进而得到的值；
①当在上时，由可求得，进而必要性可证得；
②当，可得，进而，充分性可证得；
由此可总结出结论.
【详解】
（1）将抛物线方程变为：
当时，，即切线的斜率
（2）由（1）知，直线；直线
由得：
又，
为直线交点
成等差数列
（3）在抛物线上
由（1）知：
同理可得：
联立，解得：，，即
方程两根为，
必要性：当点在线段上时，
即
充分性：当时，
，即
在线段上
综上所述：“点在线段上”的充要条件是“”
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用问题，涉及到抛物线切线的求解、抛物线中等量关系的证明、点的位置关系的证明等知识；考查了学生的运算和推理能力，整体计算量较大，属于中档题.
21．已知数列是公差为的等差数列，如果数列满足，则称数列是“可等距划分数列”．
（1）判断数列是否是“可等距划分数列”，并说明理由；
（2）已知，，设，求证：对任意的，，数列都是“可等距划分数列”；
（3）若数列是“可等距划分数列”，求的所有可能值．
【答案】（1）数列是“可等距划分数列”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）存在等差数列使得不等式成立，进而可知是“可等距划分数列”；
（2）设等差数列，且，可知，得到符合题意的不等式，证得结论；
（3）当时，可得到等差数列满足条件；当时，可得到满足条件；当时，采用反证法，若有等差数列满足条件，由可求得，不满足条件，从而知不合题意，从而得到结果.
【详解】
（1）存在等差数列，使得
数列是“可等距划分数列”
（2）对任意的，，设
则对任意的，都有
即数列为等差数列
，
即满足
对任意的，，数列都是“可等距划分数列”
（3）当时，对于数列存在等差数列满足条件
当时，对于数列存在等差数列满足条件
当时，若存在等差数列满足
则有
，，与矛盾
当时，若数列不可能是“可等距划分数列”
综上所述，的所有可能值是，
【点睛】
本题考查数列中的新定义问题的求解，涉及到等差数列的应用；关键是能够根据新定义所确定的不等式，确定等差数列公差需满足的条件，对于学生的推理能力有一定要求，属于较难题.
