2020届四川省绵阳南山中学高三二诊热身考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省绵阳南山中学高三二诊热身考试数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用补集概念及运算即可得到结果.

【详解】

∵全集，集合，

∴，

故选：D

【点睛】

本题考查补集的概念及运算，属于基础题.

2．已知为虚数单位，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】化简复数z，根据共轭复数的定义求出共轭复数，结合复数的几何意义进行判断即可．

【详解】

∵，

∴

∴共轭复数在复平面内对应的点，

∴共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，

故选A

【点睛】

本题主要考查复数的几何意义，复数的除法运算，根据共轭复数的定义求出共轭复数是解决本题的关键．

3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．

【详解】

解：双曲线的一条渐近线方程为，

可得，即，解得e2，e．

故选：C．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．

4．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（    ）

A．23 B．09 C．02 D．17

【答案】C

【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，即可得解.

【详解】

从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.

故选：C.

【点睛】

本题考查了随机数表的用法，属于基础题.

5．执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是(　　)

A．s≤?

B．s≤?

C．s≤?

D．s≤?

【答案】C

【解析】试题分析：模拟执行程序框图，的值依次为，因此（此时），因此可填，故选C.

【考点】程序框图及循环结构.

6．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法.如图所示，正十二边形的中心为圆心，圆的半径为2.现随机向圆内投放粒豆子，其中有粒豆子落在正十二边形内（，），则圆周率的近似值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：，所以，即π，得解

【详解】

解：由几何概型中的面积型可得：

，

所以，

即π，

故选：B．

【点睛】

本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，考查计算能力，属中档题

7．函数在上的图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】化简函数的解析式可得，得到函数的图象关于原点对称，再由，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数，则，

函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D，

又由，排除B，

故选A．.

【点睛】

本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝（    ）

A． B．  C．5 D．10

【答案】D

【解析】先计算P（0，1），Q（－3，0），再根据垂直关系得到|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2计算得到答案.

【详解】

由题意知P（0，1），Q（－3，0）

∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，

∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10.

故选：

【点睛】

本题考查了直线过定点问题，抓住垂直关系得到|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2是解题的关键.

9．某城市有连接8个小区、、、、、、、和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他不经过市中心的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】列出所有从小区前往的最短路径,找出符合不经过市中心的情况计算即可.

【详解】

此人从小区前往的所有最短路径为：，，，，，，共6条，记“此人不经过市中心”为事件，则包含的基本事件为：，，共2条，

∴，即他经过市中心的概率为.

故选：A.

【点睛】

本题考查了古典概型概率的计算，属于基础题.

10．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是(　　)

A．或 B．或

C．或 D．

【答案】B

【解析】根据抛物线方程，求得焦点坐标为F（，0），从而设所求直线方程为y=k（x﹣）．再将所得方程与抛物线y2=6x消去y，得k2x2﹣（3k2+6）x+k2=0，利用一元二次根与系数的关系，得x1+x2=，最后结合直线过抛物线y2=6x焦点截得弦长为12，得到x1+x2+3=12，所以=9，解之得k2=1，得到直线的倾斜角．

【详解】

∵抛物线y2＝6x，∴2p＝6.∴ ，

即焦点坐标F.

设所求直线方程为y＝k ，与抛物线y2＝6x消去y，

得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0.

设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ .

∵直线过抛物线y2＝6x焦点，弦长为12，

∴x1＋x2＋3＝12.∴x1＋x2＝9，即＝9，

解得k2＝1，k＝tan α＝±1.

∵α∈[0，π)，∴α＝或.

故选B

【点睛】

1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．

2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

11．设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（   ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：因为直线与圆相切,所以，即，所以，所以的取值范

围是。

【考点】圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式。

点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等。

12．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得f′（x）＞0在x∈上成立，即a在x∈上成立，令g（x），求其最小值即可得出结论．

【详解】

解：f′（x）ax+，

∴f′（x）＞0在x∈上成立，

即ax+0，在x∈上成立，

即a在x∈上成立．

令g（x），则g′（x），

∴g（x），在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，

∴g（x）的最小值为g（e）=

∴a＞．

故选：B．

【点睛】

本题考查学生利用导数研究函数的单调性知识及转化划归思想的运用能力，属中档题．

二、填空题

13．设向量，且，则实数的值是_______；

【答案】2

【解析】由条件利用两个向量共线的性质求得x的值．

【详解】

解：∵，，且，

∴2x＝，

即x＝2

故答案为2

【点睛】

本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．

14．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是______，______.

【答案】13    13   

【解析】先根据频率分布直方图计算出每组的频率，再用每组数据的中点代表整组即可计算出平均数；由中位数两侧面积相等列出方程即可得解.

【详解】

第组的频率为，第组的频率为，则第组的频率为，估计总体平均数为.由题意知，中位数在第组内，设为，则有，解得，从而中位数是.

故答案为：，.

【点睛】

本题考查了根据频率分布直方图计算数据的平均数和中位数，属于基础题.

15．已知是定义在上的奇函数，若的图象向左平移个单位后关于轴对称，且，则_____．

【答案】.

【解析】由题意知为偶函数，由此可得出函数的图象关于直线对称，再利用函数的奇偶性与对称性可求出的值.

【详解】

是定义在上的奇函数，，

将函数的图象向左平移个单位后，得到函数为偶函数，

由，得，

所以，函数的图象关于直线对称，

，，

因此，，故答案为.

【点睛】

本题考查利用函数的对称性求值，如果函数的对称性较多时，可以利用定义推出函数的周期性，充分研究函数的对称性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

16．设椭圆的左右焦点分别为、，上下顶点分别为、，直线与该椭圆交于、两点.若，则直线的斜率为_____．

【答案】

【解析】由可得：，又，又，从而得到结果.

【详解】

∵，

∴，即椭圆方程为：

设，A，且，即

，又，

∴，

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的方程与简单的几何性质，利用好二级结论是解题的关键,属于中档题.

三、解答题

17．已知为数列的前项和，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由，可得数列是以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；

（2）由（1）知，，利用分组求和法得到结果.

【详解】

解：（1）∵，

∴当时，，故，得.

当时，，

故，

∴当时，，

∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，

∴.

（2）由（1）知，，

∴

，

，

.

【点睛】

本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．

18．基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率进行了统计，结果如下表：

（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系.如果能，请计算出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；

（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的型车和800元/辆的型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：

经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？

参考数据：，，，.

参考公式：相关系数，，.

【答案】（1）见解析；（2）采购款车型.

【解析】（1）由表格中数据，利用公式，求得的值，即可得到回归直线的方程；

（2）分别求得100辆款和款单车平均每辆的利润，即可作出估计，得到答案．

【详解】

（1）由表格中数据可得，，.

∵ .

∴与月份代码之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.

，∴，

∴关于的线性回归方程为.

（2）这100辆款单车平均每辆的利润为

（元），

这100辆款单车平均每辆的利润为

（元）．

∴用频率估计概率，款单车与款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购款车型.

【点睛】

本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式，准确计算的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．

19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.

(1)求A；

(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．

【答案】（1）A＝60°；（2）

【解析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；

(2)利用三角形内角关系求出，结合正弦定理求出关系，利用余弦定理可求.

【详解】

(1)acos C＋asin C－b－c＝0，由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，

即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，

又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝.

在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，得A＝60°.

(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.

所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝.

由正弦定理得，.

设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，

即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，

故S△ABC＝acsin B＝10.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键.

20．已知椭圆：的离心率为，直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过点的直线交椭圆于，两点，证明：为定值.

【答案】（1）（2）见证明

【解析】（1）根据题意布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的方程；

（2）设的方程：.联立方程可得，利用韦达定理表示，即可得到结果.

【详解】

解：（1）∵椭圆的离心率为，

∴,

∵直线与圆相切，

∴，

∴，

∴椭圆的方程为.

（2）设，，

当直线与轴不重合时，设的方程：.

由得，，

∴，，

.

当直线与轴重合时， .

∴故为定值.

【点睛】

求定值问题常见的方法

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．已知函数.

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，若方程有两个不等实数根，，求实数的取值范围，并证明.

【答案】（1）（2）见证明

【解析】（1）求出，即在恒成立，即对恒成立；

（2）当时，方程，令，则有；不妨设，则，，，.

【详解】

解：（1），

∵函数在上单调递增，

∴在恒成立，即对恒成立，

∴对恒成立，即，，

令，则，

∴在上单调递减，

∴在上的最大值为.

∴的取值范围是.

（2）∵当时，方程，

令，则，

当时，，故单调递减，

当时，，故单调递增，

∴.

若方程有两个不等实根，则有，即，

当时，，

，

，令，

则，单调递增，，

∴，∴原方程有两个不等实根，

∴实数的取值范围是.

不妨设，则，，

∴，

∵，

∴

,

.

令，则，

∴在上单调递增，

∴当时，，即，

∴，∴.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．在平面直角坐标系中，已知点的直角坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）直线和曲线交于、两点，求的值.

【答案】（1）和.（2）1

【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；

（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，

利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．

【详解】

解：（1）将中参数消去得：，

将代入得：.

∴直线和曲线的直角坐标方程分别为：和.

（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，

设、两点对应的参数为、，则，，且，.

∴，

∴ .

【点睛】

本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

23．已知函数.

（1）当，时，解不等式；

（2）若的值域为，证明：.

【答案】（1）（2）见证明

【解析】（1）代入a，b的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；

（2）求出a+b＝2，巧用“1”与基本不等式证明即可．

【详解】

（1）解：当，时，，

①当时，不等式可化为，即，无解，

②当时，不等式可化为，即，得，

③当时，不等式可化为，即，得，

综上，不等式的解集为.

（2）证明：，

∵的值域为，，，∴，

故，

∴ ，

.

∴.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．