2020届云南省大理、丽江、怒江高中毕业班第一次复习统一检测数学（理）试题（解析版）

2020届云南省大理、丽江、怒江高中毕业班第一次复习统一检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.

【考点】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

2．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（    ）

A． B．

C． D．2

【答案】C

【解析】先求出的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.

【详解】

由题意，，所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题.

3．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（   ）

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B．月跑步平均里程逐月增加

C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月

D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】D

【解析】根据折线图中11个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断BCD.

【详解】

由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.

【点睛】

本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题.

4．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（  ）

A．14 B． C．240 D．

【答案】C

【解析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．

【详解】

二项展开式的第项的通项公式为

由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.

解得：.

所以

令，解得：，

所以的系数为

故选C

【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．

5．执行如右下所示的程序框图，输出的S值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】由程序框图的功能，不断循环，直到时结束循环即可得解.

【详解】

解：由程序框图可得，当时，进行第一次循环，得,

当时，进行第二次循环，得,

当时，进行第三次循环，得,

当时，进行第四次循环，得,

当时，满足，退出循环，输出，

即输出的S值为，

故选：D.

【点睛】

本题考查了程序框图的功能，重点考查了运算能力，属基础题.

6．已知等比数列满足，，则数列前10项的和为（    ）

A．1022 B．1023 C．2047 D．2046

【答案】D

【解析】先由已知条件求出，，再结合等比数列前项和公式求解即可.

【详解】

解：由等比数列满足，，

则等比数列，即，代入可得，

则数列前10项的和，

故选：D.

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的运算，重点考查了等比数列前项和的求法，属基础题.

7．若函数在点处的切线与直线互相垂直，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出函数的导数，切线斜率为，根据切线与直线互相垂直即可求出.

【详解】

因为，

所以，

，

因为切线与直线互相垂直，

所以，解得，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，直线垂直斜率之间的关系，属于中档题.

8．函数的图象大致为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，

＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．

排除D．

故答案为C。

9．某几何体的三视图如图所示(单位相同)，记该几何体的体积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是底面边长为9高为9的四棱锥，根据体积公式求解即可.

【详解】

由三视图可知，几何体为四棱锥，

且底面是边长为9的正方形，高为9，

所以

故选B

【点睛】

本题主要考查了三视图，四棱锥的体积公式，考查了空间想象力，属于中档题.

10．设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为虚轴的一个端点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设,的中点为，即有，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可.

【详解】

不妨设,

的中点为,

即有，

将代入双曲线方程可得：，

化简得，

即，

故选：D

【点睛】

本题主要考查了双曲线的方程和性质，离心率，中点坐标公式，属于中档题.

11．设函数，若实数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】【详解】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以.

【考点】利用导数求函数的单调性.

【方法点睛】

根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知的零点，

所以∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，

f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．

即.

12．已知定义域为的函数对任意实数，满足：，且，，并且当时，.给出如下结论：①函数是偶函数；②函数在上单调递增；③函数是以2为周期的周期函数；④.其中正确的结论是（    ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

【答案】B

【解析】①令y=-x,利用函数的奇偶性定义和题中关系式,可推导出f(-x)=-f(x)的关系是奇函数非偶函数;②令,利用函数单调性定义和题中关系式,可判断f(x1)>f(x2)可得为增函数;③由题中关系式用x+2代x,-x代y,可推导f(x+2)=f(x);④利用函数周期性将f()化简为f().

【详解】

令，可得，∴，函数是奇函数，故①不正确；

设，则∵当时，，

∴，∴，∴函数在上单调递增，故②正确；

∵，∴，

∴函数是以2为周期的周期函数，故③正确；

∵，故④不正确；

综上所述：答案为B.

故选:B

【点睛】

本题考查了函数知识的综合应用,包括:函数奇偶性、单调性、周期性的判断及应用;做题关键点在于一定要熟练掌握这些函数性质的基础知识,难度一般,只是化简运算时需要认真对待考查了学生的运算能力.

二、填空题

13．若向量满足，则与的夹角为__________．

【答案】

【解析】根据向量垂直，可知，利用数量积运算即可求解.

【详解】

因为，

所以，即，

因为，

所以，

解得，

又，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了数量积的运算，向量垂直，向量的夹角，属于中档题.

14．已知等差数列的前项和为，且，，则使得取最小值时的为__________．

【答案】

【解析】由条件可求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，判断项的符号何时改变即可求解.

【详解】

由，

解得，

所以，

令，解得，即前6项为负，第7项起为正，

所以最小.

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量的计算，通项公式，前n项和，属于中档题.

15．在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．

【答案】

【解析】在等边三角形中，取的中点，设其中心为，则，再利用勾股定理可得，则为棱锥的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.

【详解】

如图，在等边三角形中，取的中点，

设其中心为，由，

得，

是以为斜边的等腰角三角形，,

又因为平面平面，

平面 ，，

，

则为棱锥的外接球球心，

外接球半径，

该三棱锥外接球的表面积为，

故答案为.

【点睛】

本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.

16．在平面直角坐标系中，已知圆：，若等腰直角的斜边为圆的一条弦，则的最大值为______.

【答案】

【解析】设∠ACP=α,利用平面几何知识求出 =cosα,==sinα,将PC转化为CD+DP然后再利用三角函数知识点求最值.

【详解】

如图所示,连接圆心与，则且平分，交点为，设，则，，

∵，∴，

，所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查了动点到圆心距离的最值问题,属于中档题;本题的意图在于着重培养学生一种数学解题思想,就是利用数形结合由平面几何知识进行等价转化,然后借助于三角函数求最值.

三、解答题

17．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资，得到这名农民工的月工资均在(百元)内，且月工资收入在(百元)内的人数为，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:

(1)求的值；

(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名，非技术工有名.

①完成如下所示列联表

②则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?

参考公式及数据:，其中.

【答案】（1）（2）①列联表见解析②不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关

【解析】（1）根据频率分布直方图可得（2）①根据题目数据即可列出列联表②计算，得出结论.

【详解】

(1)月工资收入在(百元)内的人数为

月工资收入在(百元)内的频率为:；

由频率分布直方图得:

(2)①根据题意得到列联表:

不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图，列联表，相关性检验，属于中档题.

18．已知的内角的对边分别为.

(1)若，求；

(2)若，求的周长的范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求解即可（2）利用正弦定理,化简利用三角函数求范围即可.

【详解】

（1）

(2)方法一:由正弦定理得，

所以

因为，所以

所以的周长的范围是

方法二：，

，当且仅当时，取“”号

所以的周长的范围是

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和差的正弦公式，均值不等式，属于中档题.

19．如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.

（1）证明：平面；

（2）设二面角的正切值为，，，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【解析】试题分析：（1）取的中点,根据平行四边形性质得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互余关系确定结果.

试题解析：（1）证明：取的中点，连接，，

∵侧面为平行四边形，∴为的中点，

∴，又，∴，

∴四边形为平行四边形，则.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：过作于，连接，

则即为二面角的平面角.

∵，，∴.

以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，

则，，.

∵，∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

20．已知函数在上为增函数，且，，（其中）.

（1）求的值；

（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)由函数在指定区间上为增函数,则对函数求导利用函数导函数恒大于等于0,再结合题意求取参数即可;

(2)构造函数=然后分情况讨论:当≤0时,判断∈[1,e]上 >0的情况;当>0时,对函数求导判断函数的单调性,若满足题意只需即可求出参数的取值范围.

【详解】

（1）由题意，在上恒成立，即.

∵，∴.故在上恒成立，

∴，又，只有.结合，得.

（2）构造，.

当时，，，，所以在上不存在一个，使得成立.

当时，.

因为，所以，，所以在恒成立，

故在上单调递增.

所以，因，故只需，

解得.

故的取值范围是.

【点睛】

本题着重考查了已知函数在给定区间上的单调性求参数的问题,这种类型的题只要熟练掌握求导公式即可解决;同时本题还考查了在给定区间上,利用多个函数间的不等关系求参数的问题,解决此类问题的关键在于构造函数,转化为给新构造的函数求导利用其单调性求取参数,必要时对函数进行参数分离然后对参数进行范围的讨论再解决问题.

21．已知，椭圆：的离心率为，直线与交于，两点，长度的最大值为4.

（1）求的方程；

（2）直线与轴的交点为，当直线变化（不与轴重合）时，若，求点的坐标.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)由椭圆中弦长最长的位置在长轴位置可得的值,再由离心率并结合求得的值，从而求得椭圆的标准方程;

(2)如图所示:

由题中关系式利用平面几何知识结合正弦定理可得:∠MPA=∠MPB,进而可得kPA=-kPB,设A点坐标,B点坐标,M点坐标(,0)和直线l的方程,和椭圆方程联立化简得,然后利用根的判别式、韦达定理和斜率公式综合运算可得的值.

【详解】

（1）由题意弦长AB长度的最大值为4,可得2a=4即得a=2,由离心率,

且联立解得=4, =3,所以椭圆的方程为.

（2）设，，的方程为，代入椭圆方程并整理得

，

由，

解得，

，.

因为即，由角平分定理或正弦定理，即可得到

，即，所以，即，

又，所以，

即，

所以，因为为变量，所以，

所以点的坐标为.

【点睛】

本题考查了由离心率求椭圆标准方程以及根据直线和椭圆的位置关系求参数的问题,求椭圆方程问题是高考常考问题只要利用题中条件确定和一般难度不大;关键是求参数问题是综合能力的考查,解决此类问题首先要进行合理的消元,然后利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，点到直线的距离公式等等知识点将所求量表示出来，最后本题还考查学生的运算求解能力,属于中档题.

22．在极坐标系中，射线：与圆：交于点，椭圆的方程为：，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角标系.

（1）求点的直角坐标和椭圆的直角坐标方程；

（2）若为椭圆的下顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值.

【答案】（1）点的直角坐标；椭圆的直角坐标方程为（2）

【解析】（1）根据直角坐标和极坐标的转化公式可求；

（2）设出点的参数方程，结合向量数量积运算表示出，结合表达式的特征可求最值.

【详解】

（1）射线：与圆：交于点，

点的直角坐标；

椭圆的方程为，直角坐标方程为.

（2）由（1）椭圆的参数方程为（为参数）.

设，

∵，

∴，，

∴，

当时，的最大值为.

【点睛】

本题主要考查直角坐标和极坐标的转化，及利用参数方程求解最值问题，目标式的构建是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

23．已知，，，证明：

(1)；

(2).

【答案】(1) 见解析(2) 见解析

【解析】（1）由柯西不等式即可证明，

（2）由a3+b3＝2转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．

【详解】

证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；

（2）∵a3+b3＝2，

∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，

∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，

∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，

∴ab，

由均值不等式可得：ab≤

∴（a+b）3﹣2，

∴（a+b）3≤2，

∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

【点睛】

本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．