2020届云南省红河自治州高三第二次高中毕业生复习统一检测数学（理）试题（解析版）

2020届云南省红河自治州高三第二次高中毕业生复习统一检测数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【解析】先确定集合中的元素，然后再由并集定义计算．

【详解】

由题意集合,．∴．

故选：B

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式，属于基础题．

2．复数为纯虚数，则（    ）

A．0 B．4 C．2 D．

【答案】C

【解析】由复数的分类求出参数，再由复数模的概念计算模．

【详解】

复数为纯虚数，故，所以，，．

故选：C

【点睛】

本题考查复数的分类，考查复数的模，掌握复数的概念是解题关键．

3．已知棱长为2的正方体的俯视图是一个面积为4的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【解析】根据看正方体视角不同，其正视图是矩形，面积可知．

【详解】

该正方体的正视图为一个矩形，但根据看正方体视角不同，则面积不同，面积的范围是

故选：C

【点睛】

本题考查三视图，属于基础题．

4．已知函数，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由二倍角公式降幂后，应用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得最大值．

【详解】

化简函数得，所以函数的最大值为．

故选：A

【点睛】

本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质．三角函数问题通常都是应用恒等变换公式化为一个三角函数形式，即形式，然后由正弦函数性质求解．

5．已知圆，直线，则“与相交”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求出圆心到直线的距离，由相交得出的取值范围，然后根据集合间的包含关系可得结论．

【详解】

圆与直线相交，，，解得，因为是的子集．

故选：A

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，考查直线与圆的位置关系，掌握集合包含关系与充分必要条件的关系是解题关键．

6．已知圆的半径为2，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当是弦中点时，弦长最短，利用垂径定理,得只要点到圆心的距离不大于1即可满足要求，由此可得点所在区域，计算出该区域面积及已知圆面积后可得概率．

【详解】

当是弦中点时，弦长最短，弦长为时，，所以过点的所有弦的长度都大于的点落在以点为圆心，半径为1的圆内．则所求概率为．

故选：C

【点睛】

本题考查几何概型，解题关键是确定点所在的区域．利用弦长公式及垂径定理可确定．

7．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为3，则的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【解析】由弦长，根据垂径定理求出圆心到渐近线的距离，从而得的关系式，再转化为的方程即得．

【详解】

设双曲线的一条渐近线方程为，则圆心到该直线的距离，由题意得，，化简得，即，所以，即．

故选：C

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，考查直线与圆相交弦长问题．解题关键是掌握圆的垂径定理，求出圆心到渐近线的距离．

8．设实数，则展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由定积分的几何意义求得，由二项式定理得展开式通项，令的指数为0可得常数项的系数，从而得常数项．

【详解】

由定积分的几何意义可知，，

展开式通项为，

令，得，所以常数项为．

故选：D

【点睛】

本题考查定积分的几何意义，考查二项式定理，掌握定积分几何意义是解题基础，掌握二项展开式通项公式是解题关键．

9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是解决该问题的程序框图，若输出的（单位：升），则输入的的值为（    ）

A．2.25 B．4.5 C．6.75 D．9

【答案】D

【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化情况，可得结论．

【详解】

程序运行变量值依次为：；；；；此时不满足循环条件，输出．

故选：D

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，确定变量值变化，判断循环条件可得结论．

10．已知函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】判断函数为偶函数，再确定函数在上的单调性，

【详解】

因为函数，因此函数是定义域上的偶函数，

时，是增函数，此时也是增函数，所以是增函数，

又是增函数，所以在上单调递增，

，，∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的比较大小，综合性较强，属于中档题．

11．在三棱锥中，，，，则此三棱锥外接球的半径为（    ）

A． B． C． D．13

【答案】C

【解析】三棱锥对棱相等，可放到一个长方体中，三棱锥的棱为长方体的面对角线，长方体的对角线就是外接球直径，由此可得结论．

【详解】

将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，则，所以，所以该三棱锥外接球的半径为．

故选：C

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球，考查长方体的外接球问题，解题关键是把对棱相等的三棱锥扩展为一个长方体，由长方体性质易求解．

12．下列关于三次函数叙述正确的是（    ）

①函数的图象一定是中心对称图形；

②函数可能只有一个极值点；

③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；

④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

【答案】A

【解析】根据对称中心的性质，导数与单调性，导数的几何意义求解后判断．

【详解】

①的对称轴为的轴对称图形，所以必定是中心对称图形，且对称中心为，所以①正确：（或者可用证明）

②由于函数的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；

③设切点为，，斜率，

切线为，所以

，化简得：，∴或者，所以当时，即时，切线与有唯一的交点，当时，切线与有两个不同的交点，所以③正确；

④过点的切线的切点不一定是，设切点为，则切线方程为，因为在切线上，所以，将，，代入化简可得：，∴或者，所以当时，即时，切线只有一条，当时，切线有两条，所以④错误；

故选：A

【点睛】

本题考查导数与函数的对称性的关系，考查导数与极值，考查导数的几何意义，解题中难度较大．特别是求切线方程，计算难度很大，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，本题属于困难题．

二、填空题

13．已知向量，，，若，则的值为_____．

【答案】1

【解析】由向量的加减法求出，再由垂直的数量积运算求出．

【详解】

，，可得，由，可得．

故答案为：1

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查垂直的坐标表示．属于基础题．

14．设满足约束条件，若标着数的最大值为12，则的最小值为______．

【答案】

【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，然后由基本不等式得最小值．

【详解】

作出可行域，如图内部（含边界），作直线，把直线平移到点时目标函数取最大值，即，所以，满足题意．由，在时等号成立，得的最小值为

故答案为：．

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查基本不等式求最值，解题关键是作出可行域及目标函数对应的直线，平移直线得最优解．

15．已知的内角的对边分别为，若，，，则的面积为______．

【答案】

【解析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式化，展开后可求得，即角，再由余弦定理求得，最后由三角形面积公式求得面积．

【详解】

由正弦定理得：，因为

所以，因为，所以，

，由余弦定理，即，解得，

所以．

故答案为：

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，解题关键是用正弦定理化边为角，然后由三角函数公式变形求出角．

16．已知倾斜角为的直线过曲线的焦点，且与相交于不同的两点（在第一象限），则_____．

【答案】

【解析】求出点坐标，过作垂直轴于点，垂直准线于点，为准线与轴的交点，由结合直线倾斜角是60°可得出的方程，从而求得.

【详解】

由曲线即得，．

过作垂直轴于点，垂直准线于点，为准线与轴的交点，则，所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦问题，考查求抛物线上的点到焦点的距离，解题关键利用抛物线的定义建立焦半径的关系式．

三、解答题

17．已知数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，设是数列的前项和，求证．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由求得，注意即可；

（2）由放缩后可裂项相消求和，从而证得结论．

【详解】

（1）当时，，

．  

当时，满足上式， 所以． 

（2）由（1）知，，     

所以．

【点睛】

本题考查由前项和求通项公式，考查放缩法证明不等式．在由求时，一定要注意中有，因此需另外计算验证．

18．某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售员12月份的产品销售量作了一次调查，得到如下的频数分布表：

（1）若将12月份的销售量不低于30件的钠售员定义为“销售达人”，否则定义为“非销售达人”请根据频数分布表补全以下列联表：

并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关：

（2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取6名，再从这6名“销售达人”中抽取4名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为，求的分布列和数学期望．附表及其公式：

．

【答案】（1）列联表见解析，能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关；（2）分布列见解析，

【解析】（1）根据频数分布表及列联表中数据可完善列联表，然后计算可得结论；

（2）由（1）知，抽取的6名“销售达人”中，有4名男销售员，有2名女销售，所以的可能取值为2，3，4． 分别计算概率得分布列，由期望公式可期望．

【详解】

（1）频数分布表补全以下列联表：

所以，   

所以能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关；   

（2）由（1）知，抽取的6名“销售达人”中，有4名男销售员，有2名女销售，所以的可能取值为2，3，4．     

所以的分布列为

所以数学期望

【点睛】

本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望，独立性检验只要根据公式计算即可．随机变量的概率分布列首先确定随机变量的所有可能取值，然后计算概率即得．

19．如图，在长方体中，，为中点．

（1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．

（2）若二面角的大小为，求的长．

【答案】（1）存在，；（2）4

【解析】如图，以为原点的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．设，写出各点坐标．

（1）假设在棱上存在一点，使得平面．利用与平面的法向量垂直可得方程，如有解说明存在，如无解说明不存在；

（2）同（1）再求出平面的法向量，由两平面的法向量夹角与二面角关系可求得，即的长．

【详解】

如图，以为原点的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．

设，则，，，，    

故，，．       

 （1）假设在棱上存在一点，使得平面．此时．

又设平面的法向量．

平面，，，得，取，得平面的一个法向量.  

要使平面，只要，有，解得.

又平面，∴存在点，满足平面，此时.  

（2）连接，由长方体及得．

面，，平面 

就是平面的一个法向量，     

设与所成的角为，则．     

∵二面角的大小为，，即，      

解得，即的长为4．          

【点睛】

本题考查用空间向量法研究线面平行，求二面角．解题时在几何体中找三个交于同一点且两两相互垂直的直线，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标后可用向量法求解立体几何问题．

20．已知椭圆的离心率为，点，的面积为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是轴上不同的两点，点在椭圆内（异于原点），点在椭圆外．若过点作斜率存在且不为0的直线与相交于不同的两点，且满足．求证：点的横坐标之积为定值．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由离心率和的面积得的两个方程，结合可求得得椭圆方程；

（2）作点关于轴的对称点，由椭圆的对称性可知，点在椭圆上，条件等价于三点共线．可设直线的方程为（实际上），，，，，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，再由，可得，即得结论．

【详解】

（1）由题意得， 解得，所以所求椭圆的标准方程为．        

（2）作点关于轴的对称点，由椭圆的对称性可知，点在椭圆上，且，

又，所以，故点三点共线．    

由题意可设直线的方程为（），，，，，

联立，消去并整理得，，    

则有，，       

因为，所以，即，     

所以，即，

所以，即，解得．     

又，  所以．故点的横坐标之积为定值16．

【点睛】

本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的定值问题．

1.求定值问题的常用方法：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．

21．已知函数的最小值为0．

（1）求的值；

（2）设，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）求出导函数，由导函数确定函数的单调性，极值、最值；

（2）令数列的前项和，求出，（1）中结论可得：，  令，则，对放缩后有，不等式右边就是，从而证得结论．

【详解】

（1），，    

令，解得；令，解得；      

所以，在单调递减，在上单调递增，      

所以，    解得；       

（2）令数列的前项和，

则时，，

又，适合，

∴，        

由（1）得，变形可得：，  令，则，

因此，              

所以

【点睛】

本题考查用导数求函数最值，考查不等式的证明，本题不等式的证明中一个关键是设出数列的前项和为，一个是由函数的结论得出，然后绝对值放缩把与结合在一起，得出结论．

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求的直角坐标方程和的普通方程；

（2）若与相交于两点，求的面积．

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】（1）由公式可把极坐标方程化为直角坐标方程，消去参数可把参数方程化为普通方程；

（2）直线方程与抛物线方程联立消去得的一元二次方程，由韦达定理得，由焦点弦性质得弦长，再求出原点到直线的距离的可得三角形面积．

【详解】

（1）的极坐标方程可化为，因为，

故的直角坐标方程为，   消参可得的普通方程为；           

（2）的焦点坐标为，为过的直线，联立，得，    

所以，点到直线的距离， 所以

【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与抛物线相交中三角形面积问题，掌握抛物线焦点弦性质解题更加方便．

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记的最大值为，设，且，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）按绝对值定义去掉绝对值符号后分类解不等式即可；

（2）由（1）求出函数最大值，用“1”的代换，展开后用基本不等式可证明．

【详解】

（1），故当或者不成立，当时，，解得：，

故的解集为   ；    

（2）由（1）知，故，所以，

当且仅当时，即，，时，等号成立，所以．

【点睛】

本题考查解含绝对值的不等式，考查用基本不等式证明不等式．用分类讨论思想解绝对值不等式是常用方法．