苏教版五下数学知识点整理

这是一份苏教版五年级下册本册综合导学案，共41页。

数学五年级下册知识点整理
姓名： 班级：
第一单元 方程
等式
1、 含有未知数的等式叫做方程。
2、 方程和等式的关系：
方程


方程一定是等式，等式不一定是方程。
3、解方程的一般方法：
等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
四则运算各部分之间的关系：
一个加数=和—另一个加数 被减数=减数+差 减数=被减数—差
一个因数=积÷另一个因数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商
4、 解方程的注意点：先写“解：”，等号要对齐，检验过程如下。
检验：把x=（ ）代入原方程
左边=（ ）
右边=（ ）
∵左边=右边
∴x=（ ）是原方程的解。
【典型例题】
x+20=70 6x÷2=48 3.8x-6=15-1.2x
解： x=70-20 解： 6x=48×2 解：3.8x+1.2x=15+6
x=50 x=96÷6 5x=21
x=16 x=21÷5
检验：把x=16代入原方程 x=4.2
左边=6×16÷2=96÷2=48
右边=48
∵左边=右边
∴x=（ ）是原方程的解。

5、 列方程解决问题的步骤：
（1）找数量关系；
（2）写解：设未知数（带单位名称）；
（3）列方程，解方程（省略字母和数字之间的“×”，数字写在字母的前面。如：2×x写成2x，求出x的值不写单位名称 。）
（4）将x的值代入题意检验并写答。
【典型例题】
1、一只大象的体重是6吨，正好是一头牛体重的15倍。一头牛的体重是多少吨？
一头牛的体重×15=一只大象的体重
解：设一头牛的体重是x吨。
15 x=6
X=6÷15
X=0.4
检验：15×0.4=6（吨） 答：一头牛的体重是6吨。
2、 王叔叔养了216只鸭，是养鸡只数的3倍，是养鹅只数的6倍。
（1） 王叔叔养鸡多少只？ （2）王叔叔养鹅多少只？
（1） 解：设王叔叔养鸡x只。 （2）解：设王叔叔养鹅y只。
3x=216 6y=216
x=216÷3 y=216÷6
x=72 y=36
答：王叔叔养鸡72只。 答：王叔叔养鹅36只。
3、 三个连续自然数的和是中间数的3倍，五个连续自然数的和是中间数的5倍。
三个连续奇数或偶数的和是中间数的3倍，五个连续奇数或偶数的和是中间数的5倍。
【典型例题】
3个连续的奇数和为21，则这三个奇数分别是多少？
解：设中间数为x。
3 x=21
x=21÷3
x=7
7-2=5, 7+2=9
答：这三个奇数分别是5、7、9。
【练习】
1、解方程
36—x=22.5 40x=5 210÷x =0.7 3m-8=2m+1



2、看图列方程解决问题





3、列方程解决问题
（1）学校为扩充图书资料，今年计划投入资金8万元，是去年的1.6倍。去年投入资金多少万元?



（2）两个城市的公路长418千米。甲、乙两辆汽车同时从两个城市出发，相向而行，经过5.5小时相遇。甲车每小时行36千米，乙车每小时行多少千米?



（3）妈妈的年龄比小红大27岁，今年妈妈的年龄正好是小红的4倍，今年妈妈多少岁？



（4）一个三角形的面积是24平方厘米，高是3厘米，那么三角形的底是多少厘米？



（5）两袋米同样重，第一袋吃了18千克。第二袋吃了25千克，第一袋余下的千克数刚好是第二袋的2倍，两袋米原来各重多少千克？
第二单元 折线统计图的知识点及典型题
1、绘制折线统计图的方法：（1）画出横轴和纵轴（2）确定一个单位长度表示数量的多少（3）描点（4）用线段顺次连接所有点，并标注数据（5）标注好日期和标题
2、单式折线统计图：
折线统计图的特点：既可以反映出数量的多少，又可以表示数量增减变化
3、复式折线统计图
①画图时注意：一“点”（描点）、二“连”（连线）三“标”（标数据）、
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
在制作复式折线统计图时，一定要有图例，把两组数据区分开；起始格与其他小格所代表的数量不统一，起始格处应画折线；横轴上表示时间惑其他名称的间隔要相等。







第三单元 公倍数和公因数
1、求两个数的最小公倍数和最大公因数时，如果两个数是倍数关系，它们的最小公倍数是较大的那个数，它们的最大公因数是较小的那个数。如： a÷b=3, [a,b]=a, (a,b)=b
求两个数的最小公倍数和最大公因数时，如果两个数是互质关系，它们的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1。
如：[4,7]=28，（4,7）=1
2、求两个数的最小公倍数和最大公因数时，如果两个数既不是倍数关系，又不是互质关系。可以用：
（找最小公倍数：先依次找较大数的倍数，再从中找也是较小数的倍数，取最小的公倍数就是这两个数的最小公倍数。
找最大公因数：先依次找较小数的因数，再从中找也是较大数的因数，取最大的公因数就是这两个数的最大公因数。）
也可以用短除法求最大公因数和最小公倍数的方法：一般用两个数公有的因数去除，一直除到商是互质数为止，把所有的除数（公因数）相乘得到两个数的最大公因数，把所有的除数（公因数）和商（独有因数）相乘得到两个数的最小公倍数。如：

（12，18）=2×3=6
[12，18]=2×3×2×3=36
发现：
两个数的最大公因数×两个数的最小公倍数=两个数的积

3.和与积的奇偶性
（1）和的奇偶性
加数中有1个、3个、5个……奇数时，和一定是奇数；
加数中有2个、4个、6个……奇数时，和一定是偶数。
（2）积的奇偶性
乘数都是奇数，积也是奇数；
乘数都是偶数，积也是偶数；
几个乘数中，只要有一个偶数，积一定是偶数。
【典型例题】
1、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加了游泳训练，几月几日他们又再次相遇？
分析：求他们什么时候再次相遇就是求6、8的最小公倍数，7月31日他们同时去的，所以7月31日不算，从8月1日开始，算得的最小公倍数就是过多少天会再次相遇。
[6,8]=24 （过24天会再次相遇，从8月1日开始算过24天是24日）
答：8月24日他们又再次相遇。
2、暑假期间，小华、小明和小芳都去参加游泳训练。小华每3天去一次，小明每4天去一次，小芳每6天去一次。8月1日三人都参加了游泳训练，几月几日他们又再次一起参加训练？
分析：求他们几月几日又再次一起参加就是要求出3、4、6的最小公倍数，算得的最小公倍数就是过多少天会再次相遇，他们是8月1日同时训练的，所以8月1日不算，要从8月2日开始算。
[3,4,6]=12 （第12天会再次相遇）
12+1=13（日） （从8月2日开始算过12天是13日）
答：8月13日他们又再次一起参加训练
【练习】
1、如果A是B的倍数，那么（ ）是（ ）的因数。
2、如果m=2×3×5，n=2×3×7，m和n的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
3、已知a和b都是不为0的自然数，且b=5a, a和b和最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
4、（a，b）=30，[a，b]= 180，其中一个数是60，另一个数是（ ）。
5、有三根铁丝，分别长16米，24米，32米，要把这3根铁丝截成同样长的若干小段，三根铁丝都不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以截成多少段？



6、刘勇和王刚都去参加网球训练。刘勇每隔5天去一次，王刚每隔3天去一次。7月1日两人都参加了网球训练后，几月几日他们又再次一起参加训练？

第四单元 分数的意义和性质

1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。
4、分数与除法
A÷B=（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5=
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如：
=10÷5=2 =21÷5=4
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：
把2化成分母是4的假分数;2= 2×4=8 （8作分子）
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：
5==
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：
1=====…==…
7、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
如：=
10、最简分数;分子分母互质的分数叫做最简分数
分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（最简真分数、最简假分数）
11、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：
和 可以化成和
12、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100…… 能约分的要约分
如：0.3= 0.03= 0.003=
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
如：=0.3 ==0.6 ==0.25
方法二：用分子÷分母 ，分子除以分母，除不尽的取近似值
如：=3÷4=0.75
（3）带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数
如：2=2+0.3=2.3
13、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
14、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。
15、两个数互质的特殊判断方法：【分数的分子、分母互质，肯定是最简分数】
①1和任何大于1的自然数互质。
②2和任何奇数都是互质数。
③相邻的两个自然数是互质数。
④相邻的两个奇数互质。
⑤不相同的两个质数互质。
⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
16、求最大公因数和最小公倍数的方法：【用于约分和通分】
① 倍数关系：如果两个数呈倍数关系其中较小的数就是最大公因数，较大的数就是最小公倍数。
② 互质关系：如果两个数互质，最大公因数就是1，最小公倍数就是它们两个的乘积。
③ 一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。


练习巩固
一、 计算
1、 将下列分数分类


真分数： 假分数：

2、约分




3、通分
和 和 和 和




4、从小到大顺序排列





2.67 2.667




二、解决问题：
1．一堆货物，已经运走了 ，还剩几分之几没运走？


2．五（6 ）班有学生49 人，其中男生28 人，男生占全班人数的几分之几？


3．从北京到长春乘火车需要10小时，乘轿车需要12小时，问火车与轿车每小时各行驶全程的几分之几？火车快还是轿车快？





4．一个长方形的长和宽分别是24cm和8cm，至少多少个这样的长方形才能拼成一个正方形？这个正方形的边长是多少？




5．把一张长72cm，宽60cm的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？

第五单元 分数的加法和减法
在同分母加减时分母保持不变，分子相加减，这点一定要记住了。
1、分数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
（2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）

（3） 分数的加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

①、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
②、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
例：

（2）异分母分数加、减法
①、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
②、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
例：

异分母相加减时，我们一定要先找到最小公分母通分，然后根据同分母的计算方法来计算。
（3）分数加减混合运算
①、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
②、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
例：

分析：第一个题：有三个分数，那么我们可以选择先通分两个分数，然后再通分第三个分数，也就是解法1的作法。我们还可以选择三通分数同时同分，当然公分母可能既要复杂一些，但是和找两个分数的公分母方法是一样的。
第二个题：有括号，在四则运算中我们知道有括号的先算括号内，记住：整数的计算法则在分数中照样有效。

分数的计算顺序和整数的运算顺序是相同的，异分母分数相加中在找最小公倍数时我们要细心。
同分母的所有真分数相加，只要用这些分数的个数除以2，就是他们的和。比如：。用字母表示为：


第六单元　圆内知识点整理
1.
圆的认识

（1）圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形)
（2）用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变;要旋转一周。
（3）画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示;通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。
【说明：画圆时，圆规针尖固定的一点是圆心，圆规两脚之间距离是半径。】



(4)半径和直径的关系：同一个圆里，直径是半径的两倍，半径是直径的一半。(d=2r, r=d÷2)

(5) 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

(6) 同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。

(8)正方形里最大的圆：圆心是对角线交点，半径是正方形边长的一半。


(9)长方形里最大的圆：圆心是对角线交点，半径是长方形宽的一半。

（10）长方形（宽大于或等于长的一半）里最大的半圆：以长为直径的半圆。






宽=长÷2 宽＞长÷2
（11）正方形里最大的扇形，圆心是正方形的直角顶点，半径是正方形边长。

（12）圆里最大的正方形，正方形的对角线是圆里互相垂直的2条直径。
图中每个小正方形的面积=r×r÷2，正方形的面积= r×r÷2×4= r×r×2
此正方形的面积=直径×半径或半径的平方×2

2.圆的周长

(1) 任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π(读pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……
我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14

(2)圆的周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率（C＝πd或C＝2πr）

(3) 同一个圆里，圆的周长是直径的π倍，圆的周长是半径的2π倍。
（4）若一个圆的半径增加a厘米，则周长增加2πa厘米；
若一个圆的直径增加a厘米，则周长增加πa厘米
（5）车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。
每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数
（6）求圆的半径或直径的方法：d = C圆÷3.14； r= C圆÷ 3.14÷2
（7）半圆的周长=圆周长的一半+直径
（ C半圆= πd÷2＋d，C半圆= πr＋2r ）

(8) 常用数据：

(4)2π≈6.28
(4)3π≈9.42
(4)4π≈12.56
(4)5π≈15.7

(4)6π≈18.84
(4)7π≈21.98
(4)8π≈25.12
(4)9π≈28.26

(4)12π≈37.68
(4)14π≈43.96
(4)16π≈50.24
(4)18π≈56.52

(4)24π≈75.36
(4)25π≈78.5
(4)36π≈113.04
(4)64π≈200.96
3.
圆的面积
1. 圆的面积推导：
圆可以切拼成近似的长方形，
长方形的面积与圆的面积相等；
长方形的宽是圆的半径；（即宽=r）
长方形的长是圆周长的一半。(即长=πr)
因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=圆周长的一半×半径，
S圆＝πr×r＝πr2
【注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。C长方形=2πr+2r=C圆+d】

2. 圆的面积公式：圆的面积＝半径的平方×圆周率，S圆=πr2。
要求圆的面积只要知道圆的半径或者知道圆的半径的平方。
3. 圆的面积是半径平方的π倍。
4.半圆的面积是圆面积的一半。S半圆＝πr2÷2
5.大小两个圆比较，半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数，
面积的倍数＝半径的倍数2
6.周长相等的平面图形中，圆的面积最大；面积相等的平面图形中，圆周长最短。
7.圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法分配律进行
简便计算。【S圆环=πR2-πr2=π(R2-r2)】
8. 常用的平方数：
12=1 22=4 32=9 42=16 52=25
62=36 72=49 82=64 92=81 102=100
112=121 122=144 132=169 142=196 152=225
162=256 172=289 182=324 192=361 202=400
302=900 402=1600 502=2500 602=3600 702=4900
802=6400 902=8100
0.12=0.01 0.22=0.04 0.32=0.09 0.42=0.16 0.52=0.25 0.62=0.36 0.72=0.49 0.82=0.64 0.92=0.81 1.12=1.21 1.22=1.44 1.32=1.69 1.42=1.96 1.52=2.25 1.62=2.56
1.72=2.89 1.82=3.24 1.92=3.61
9.圆内常用公式：
d=2r, r=d÷2；C圆＝πd或C圆＝2πr；d = C圆÷3.14； r= C圆÷ 3.14÷2；
S圆＝πr2；S半圆＝πr2÷2；C半圆=πd÷2+d；或C半圆=πr+2r；S圆环=πR2-πr2=π(R2-r2)

典型题
1. 圆中最长的线段是6厘米，这个圆的周长是（ ）厘米。
2. 画一个周长为37.68厘米的圆，圆规两脚间的距离应是（ ）。
3. ①一个圆的半径扩大为原来3倍，周长扩大原来的（ ）倍，面积扩大为原来的（ ）倍。
我是这样想的：




②一个圆的半径增加3厘米，直径增加（ ）厘米；周长增加（ ）厘米。
我是这样想的：




③圆的半径从10厘米减少到8厘米，周长减少（ ）厘米,面积减少（ ）平方厘米。




4. 一个圆的周长为12.56厘米，将它切成两个半圆后，每个半圆的周长为（ ）厘米。
5. 把一个圆分割成两个相等的半圆后，它的周长增加了6厘米，原来这个圆的面积是（ ）。【新题】
6. 在一张长60厘米、宽40厘米的长方形纸片中，最多能剪（ ）个直径为4厘米的圆。【新题】
7. 两个圆的半径之和是6厘米已知大圆周长是25.12厘米，小圆的周长是（ ）厘米。【新题】
8. 在一个长10厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的半径是（ ）分米
9. 一个圆的周长、直径、半径的和是18.56厘米，这个圆的半径是（ ）厘米。【新题】
10. 把一张半径直径8分米的圆形铁皮剪成一个最大的正方形，这个正方形的面积是（ ）。
11. 车站钟楼上的大钟，分针长1.2米,时针长0.9米.
（1）分针走一小时，分针尖端走了多少米？分针扫过的面积是多少平方米？


（2）分针和时针的针尖一昼夜各走多少米?
（3）一个钟面上的时针长5厘米，从上午8时到下午2时，时针尖端走了多少厘米？时针扫过的面积是多少平方厘米？【画图】






12. 王奶奶用篱笆靠墙围了一个半圆形的鸡场。篱笆的全长为28.26米，鸡场的面积是多少平方米？




13. 用一根长314厘米的铁丝围成一个正方形的边长是（ ）厘米，如果围成一个圆，这个圆的半径是（ ）厘米。
14.用一条长20米的绳子围绕一棵树干绕了6圈，还余下1.16米，这棵树干的直径大约是多少米？



15. 一条甬路长47.1米，小明在路上滚铁环，铁环直径为30厘米，从路的一端滚到另一端，铁环要转多少圈？



16. 用一根长10.28米绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是（ ）米，面积是（ ）平方米。

17. 从一张正方形纸上剪下一个周长是18.84厘米的最大圆，求被剪掉的纸屑的面积。


18. 把一个圆平均分成若干等份后，能拼成一个周长为20.7分米的长方形，这个圆形的面积是多少平方分米？【新题】






19.一台压路机，前轮横截面直径是2.8米，前轮宽1.5米。如果每分钟前进10周，那么（1）每分钟前进（ ）米，每分钟压路（ ）平方米。
（2）半小时前进（ ）米，压路（ ）平方米。

第七单元 解决问题的策略（转化）
1. 求复杂图形的周长和面积：把复杂的图形通过切割、平移、旋转等方法，转化成简单规则的图形。
2. 特殊的计算问题：借助数形结合从不同角度灵活分析问题，使复杂计算简单化。

一、 复杂图形的周长和面积。

1. 求阴影部分的周长。











2. 求阴影部分的面积。



















































朱伯伯靠墙角围成了一个最大的养鸡场，用去6.28米的篱笆，如下图所示。这个养鸡场的面积是（ ）平方米。






































3. 求阴影部分的周长和面积















4. 用分数表示下面各图中的阴影部分。




5. 其他类。

























二、 特殊的计算问题
1.分子都是1，分母依次×2，连加
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2.分子都是1，分母可以转化成连续自然数乘积，连加
（1）
（2）
（3）
3.分子是相邻自然数的积，分母是这两个相邻自然数的和
（1）
（2）
4.从1开始的连续自然数的和。

1+3+5+7+……+195

拓展：等差数列求和
（1）25+26+27+28+29+30+31+32
（2）5+7+9+11+……+199

（3）1+4+7+10+……+91
（4）5+11+17+23+29+35+……+59


5.连加算式的第一个加数都是1，后面的每一个加数都是前一个加数的2倍。

计算：1+2+4+8+16+……+256
6.合理凑整
（1）9.7+99.7+999.7+9999.7+99999.7
（2）0.9+0.99+0.999+0.9999
7.合理利用运算律计算
（1）0.625×24+6.25×7.5+62.5×0.01
（2）12.85÷0.125+2.15×8
8.比赛场数问题：
10人参加围棋比赛
（1）若以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰一人），如果要决出冠军，那么一共要比赛多少场？
（2）若以单循环比赛制进行（即每2人进行一场比赛），那么一共要比赛多少场？
（3）这10人比赛结束后，互发一条鼓励的短信，那么一共要发多少条短信？
（4）这10人比赛结束后，互通一次电话，那么一共打了多少次电话？


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