千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第3炼 利用数轴解决集合运算问题
展开第3炼 利用数轴解决集合运算问题
数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。
一、基础知识：
1、集合运算在数轴中的体现：
在数轴上表示为表示区域的公共部分
在数轴上表示为表示区域的总和
在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到）
2、问题处理时的方法与技巧：
（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系
（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域
（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可
3、作图时要注意的问题：
（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察
（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。
二、例题精析：
例1：（2009 安徽）集合，则=_______
思路：先解出的解集，，作出数轴，则即为它们的公共部分。
答案：
例2：设集合，则的取值范围是____
思路：可解出 ，而集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出的范围，由于，而数轴上有一部分区域没有被包含，那说明集合负责补空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要： 即可，解得：
答案：
小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点
（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合
（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若或，则端点处既不在里，也不在里，不符题意。
例3：对于任意的，满足恒成立的所有实数构成集合，使不等式的解集是空集的所有实数构成集合，则______
思路：先利用已知条件求出，再利用数轴画出的范围即可
解：由 ① 恒成立，可得：
当即时，①变为：恒成立
当时，若要①恒成立，则
解集为空等价于：
设
即
小炼有话说：本题更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情况，而不能默认为二次不等式，集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。
例4：已知集合，若，则实数的取值范围为
思路：先解出的解集，意味着有公共部分，利用数轴可标注集合两端点的位置，进而求出的范围
解：
当时，
当时，恒成立
当时，
且
例5：已知，当“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是__________
思路：为两个不等式的解集，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出的范围即可
解：
由是的真子集可得：
答案：
小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件对应集合是对应集合的真子集
2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。
例6：已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________
思路：任取，则取到值域中的每一个元素，依题意，存在使得，意味着值域中的每一个元素都在的值域中，即的值域为的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出的范围
解：时， 时，
对于，分三种情况讨论
当时，
当时，，符合题意
当时，
综上所述：
答案：
例7：已知集合，若，则________
思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合的范围。从而确定出的值，如图所示：可得，所以
答案：
例8：设，
，求
思路：集合的不等式解集为 ，集合为一元二次不等式的解集，由题意可知，设的两根为 ，则 ，在数轴上作图并分析后两个条件：说明将集合覆盖数轴的漏洞堵上了，说明与的公共部分仅有，左侧没有公共部分，从而的位置只能如此（如图），可得：，由韦达定理可得：
例9：在上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
思路：首先将变为传统不等式：，不等式含有参数，考虑根据条件对进行分类讨论。设解集为，因为，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当时，则；当时，根据的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范围即可
解：
设解集为
当时，则
当时：
若时，
若时，
综上所述：
答案：D
例10：已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 解：所解不等式为，可以考虑两边平方后去掉绝对值，因式分解可得：，由题意中含3个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以的系数均大于零，即，另一方面，解集区间内有3个整数，从端点作为突破口分析，两个端点为，因为，所以，进而结合数轴分析可得三个整数解为，所以另一个端点的取值范围为①，而②，所以只要①②有交集，则可找到符合条件的，结合数轴可得：，求出
答案：
三、近年模拟题题目精选：
1、（2016四川高三第一次联考）已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、（2014吉林九校二模，1）已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3、（重庆八中半月考，1）设全集为，集合，则（ ）
A. B. C. D.
4、已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A. B. C. D.
5、（2014，浙江） 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
6、（2014，山东）设集合，则（ ）
A. B. C. D.
7、设集合，若，则实数的取值范围是_________
8、已知全集，集合，那么集合（ ）
A. B. C. D.
9、若关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是_______.
习题答案：
1、答案：B
解析：若，则符合题意，若，则符合题意，当时，解得：，由可知：，综上可得：
2、答案：D
解析：，在数轴上标出的区域即可得出
3、答案：C
解析：分别解出中的不等式，，所以
4、答案：A
解析：的定义域：，的定义域：，所以，
5、答案：C
解析：解出中不等式：或，所以，则
6、答案：D
解析：集合为解不等式：，集合为函数的值域，由可知，所以
7、答案：
解析：集合为，由可知；当时，可得，当时，结合数轴可得：即，综上可得：的取值范围是
8、答案：C
解析：或
9、答案：
解析：因为不等式等价于，其中中的，且有，故，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集。所以，解得的范围为
