四川省南充市重点高中2025-2026学年高二下学期第一次月考试卷 数学（含解析）

这是一份四川省南充市重点高中2025-2026学年高二下学期第一次月考试卷 数学（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知数列是等差数列，，则（ ）
A．19B．51C．69D．87
3．已知各项均为正数的等比数列，若，则公比（ ）
A．B．2C．D．4
4．如图，直线和圆，当从顺时针绕点匀速旋转到时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数.这个函数的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
5．若数列满足，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数在处取得最小值1，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知等比数列的前项和为，若，且，，则（ ）
A．20B．15C．10D．5
8．已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象在的切线的斜率为0
B．函数在上单调递增
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值
10．已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（ ）
A．
B．数列是等差数列
C．
D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．若函数有两个零点，则
C．不等式的解集为
D．若，则
三、填空题
12．若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________．
13．已知函数，则______________________.
14．已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知函数在时取得极大值．
(1)求实数，的值；
(2)求函数在区间上的最值．
17．已知函数，．
(1)求；
(2)证明：当时，；
(3)设函数，将函数的零点从小到大排列构成数列，求数列的前8项的和．
18．在数列中，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)若，记数列的前项和为，若对一切，不等式都成立，求实数的取值范围．
19．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若在上有解，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
解析：对于A选项：为常数，故，A错误；
对于B选项： ，B错误；
对于C选项： ，C错误；
对于D选项： ，D正确.
2．B
解析：因为，所以，
则.
3．B
解析：由题意可得，，，
则，即，
则，故或，
当时，则，不符，故舍去；
当时，则，符合题意；
综上可得：.
4．D
解析：根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数，
且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大再变小，
结合选项，可得选项D符合题意.
故选：D.
5．A
解析：由题可知，，，，
以此类推，可知.
6．C
解析：因为函数在处取得最小值1，
所以在处取得极值，故.
又，所以，
解得.
将代入导数得，
令，解得或（舍去），
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此是的最小值点，也是极小值点，符合题意，所以.
7．D
解析：由题意，根据等比数列前项和公式，当时，可得，
化简得，
又等比数列公比，所以，所以，即，
解得（舍）或，
又，即，化简得，
即，又，所以，
又，所以，解得，
当时，，，所以，与题意矛盾，不成立.
综上所述，的取值为.
8．D
解析：由可得，
令，则，
因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递减，
所以，即，化简得.
9．BD
解析：选项A：由图可知，即函数的图象在的切线的斜率大于0，故A错误；
选项B：由图可知时，，
所以函数在上单调递增，故B正确；
选项C：由图可知时，，
所以函数在上单调递增，
左右两侧导数符号相同，不是函数的极值点，故C错误；
选项D：由C选项可知函数在上单调递增，
由图可知时，，所以函数在上单调递减，
故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确．
10．BCD
解析：由，可得时，①，
当时，，两式相减，可得，
即，因数列为等比数列，
故公比为，由①可得，解得，
故，故A错误；
又因，，
所以，即数列是等差数列，故B正确；
又，即，故C正确；
因，设，
则的前项和为，
所以，故D正确.
11．ACD
解析：对于选项A，因为，由，得到，
当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A正确，
对于选项B，若有两个不同的零点，即直线与有两个交点，
因为是的极小值点，，
因为，且时，
所以，当时直线与有两个交点，选项B错误；
对于选项C，由，得到，当时，恒成立，
当时，由，得到，
令，在区间上单调递增，所以，则，
综上，不等式的解集为，C选项正确；
对于选项D，由，得到，
则，由选项A知，在区间上单调递增，
所以，则，故选项D正确，
12．3
解析：由题意得，
当时，，
因为数列是等比数列，所以时也满足，
即，解得.
13．/0.5
解析：，
故，故，
故答案为：
14．/
解析：，①
当时，，②
①-②得；
当时，，此时仍然成立，．
当时，；
当时，，
当时，上式也成立，故．
由于，
设
，
则，
．
故答案为：
15．(1)
(2)
解析：（1）由得，
由得,即，
所以有，解得，
所以.
（2）由题意得，
则
.
16．(1)，
(2)最大值为，最小值为
解析：（1）因为，
所以，
又因为函数在时取得极大值．
所以，
解得，
当时，
，，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以函数在时取得极大值，为，满足题意，
所以；
（2）由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
17．(1)1
(2)设，则，
由于恒成立，因此，则在上单调递减，
当时，，即，故.
(3)
解析：（1），所以.
（2）略
（3），.
令，可得或，
由，，可得；
由，可得时​，解得或，
的零点从小到大排列，得到前8项为： ，
依题意，数列的前8项的和为 .
18．(1)证明：设，
则，
即，
因为，所以，
则数列是首项为，公差为的等差数列.
(2)
(3)
解析：（1）略.
（2）由，可得，
，解得.
（3）因为，
依题意，，
，
则转化为，
即，也即，
因为不等式对一切恒成立，所以，
设，
因，
当时，，得，
当时， ，得，
当时，因，则 ，故单调递减，
则有，又，
故，则，
则实数的取值范围为.
19．(1)
(2)当 时， 在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在 上单调递增；
当 时， 在和上单调递增，在上单调递减.
(3)
解析：（1）当 时，， ，
，，
因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 .
（2），，
令，则或，
当，即时，，因此 在 上单调递增；
当，即 时，由，得，由，得，
所以 在和上单调递增，在上单调递减；
当，即 时，由，得，由，得，
所以 在和上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在 上单调递增；
当 时， 在和上单调递增，在上单调递减.
（3） ，即，即，
所以 在上有解，
令 ，则 ，
令 ，则，
所以 在 单调递增且 ，
时，，，单调递减；
时，，，单调递增；
可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解；
故的取值范围为.