2027届湖南省湘西土家族苗族自治州高考冲刺模拟数学试题（含答案解析）

这是一份2027届湖南省湘西土家族苗族自治州高考冲刺模拟数学试题（含答案解析），共19页。试卷主要包含了已知集合等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足（是虚数单位），则=（ ）
A．B．C．D．
3．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）
A．B．
C．D．
5．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（ ）
A．B．C．D．
6．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A．B．
C．D．
7．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（ ）
A．B．
C．，两种情况都存在D．存在某一位置使得
8．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知集合，则( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数在区间上的值域是，则的取值范围是__________.
14．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
15．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.
16．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：
18．（12分）已知是公比为的无穷等比数列，其前项和为，满足，________．是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
19．（12分）△的内角的对边分别为,且．
(1)求角的大小
(2)若,△的面积,求△的周长．
20．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn＝an⋅3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
21．（12分）已知函数，函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
（3）证明：当时，.
22．（10分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】
由，可得，
可得，
通分得，
整理得，所以，
因为为三角形的最大角，所以，
又由余弦定理
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
又由，所以的取值范围是.
故选：C.
本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.
2、A
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由，得，
．
故选．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3、A
【解析】
计算，得到答案.
【详解】
根据题意，故，表示的复数在第一象限.
故选：.
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
4、A
【解析】
分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.
详解：根据题意有，如果交换一个球，
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，
红球的个数就会出现三种情况；
如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，
对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.
点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.
5、A
【解析】
直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可
【详解】
直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.
故选：A
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.
6、B
【解析】
甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．
7、A
【解析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．
【详解】
由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，．
设，则有，，，
可得，．
，
，；
，；
，
，，
．
综上可得，．
故选：．
本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
8、C
【解析】
根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．
【详解】
根据题意，分两种情况进行讨论：
①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；
②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.
语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.
综上所述，共有种不同的排法.
故选：C．
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．
9、D
【解析】
集合．为自然数集，由此能求出结果．
【详解】
解：集合．为自然数集，
在A中，，正确；
在B中，，正确；
在C中，，正确；
在D中，不是的子集，故D错误．
故选：D．
本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10、B
【解析】
根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.
【详解】
根据题意，画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即.
由图像可知，，
所以是的一个零点，
当时，，若，
则，即，所以，解得；
当时，，
则，且
若在时有一个零点，则，
综上可得，
故选：B.
本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.
11、A
【解析】
由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.
【详解】
解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，
抛物线的准线过双曲线的左焦点，
．
抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，
，又，
，
则双曲线的离心率为．
故选：．
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
12、C
【解析】
解不等式得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．
【详解】
集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，
，
故选C．
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】
配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解.
【详解】
，顶点为
因为函数的值域是，
令，可得或.
又因为函数图象的对称轴为，
且，所以的取值范围为.
故答案为:.
本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.
14、
【解析】
由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为.
15、
【解析】
确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求的取值范围．
【详解】
函数的定义域为，，
依题意，方程有两个不等的正根、（其中），
则，由韦达定理得，，
所以，
令，则，，
当时，，则函数在上单调递减，则，
所以，函数在上单调递减，所以，.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
16、1
【解析】
由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝1，得解．
【详解】
①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，
②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，
③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5，
综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝1，
故答案为：1．
本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；
（2），分，两种情况讨论即可.
【详解】
（1）证明：点的坐标为.
联立方程，消去后整理为
有，可得，，.
可得点的坐标为.
当时，可求得点的坐标为，
，.
有,
故有.
（2）若点在轴上方，因为，所以有，
由（1）知
①因为时.由（1）知，
由函数单调递增，可得此时.
②当时，由（1）知
令
由
，故当时，
，此时函数单调递增：当时，，此时函数单
调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时
，可求得.
由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.
18、见解析
【解析】
选择①或②或③，求出的值，然后利用等比数列的求和公式可得出关于的不等式，判断不等式是否存在符合条件的正整数解，在有解的情况下，解出不等式，进而可得出结论.
【详解】
选择①：因为，所以，所以．
令，即，，所以使得的正整数的最小值为；
选择②：因为，所以，．
因为，所以不存在满足条件的正整数；
选择③：因为，所以，所以．
令，即，整理得．
当为偶数时，原不等式无解；
当为奇数时，原不等式等价于，
所以使得的正整数的最小值为．
本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（I）；（II）．
【解析】
试题分析：（I）由已知可得
；（II）依题意得：
的周长为．
试题解析：（I）∵，∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（II）依题意得：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．
20、（1）.（2）
【解析】
（1）先设等差数列{an}的公差为d（d＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列{an}的通项an；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和Tn.
【详解】
（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则
a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，
整理，得12d2+7d﹣10＝0，
解得d（舍去），或d，
∴an＝1（n﹣1），n∈N*.
（2）由（1）知，bn＝an⋅3n•3n＝（2n+1）•3n﹣1，
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）•3n﹣1，
∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n，
两式相减，可得：
﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）•3n
＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n
＝3+2（2n+1）•3n
＝﹣2n•3n，
∴Tn＝n•3n.
本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
21、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.
（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.
（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.
【详解】
（1）解：的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设函数，则.
因为，所以，，
则，从而在上单调递减，
所以，即.
（3）证明：当时，.
由（1）知，，所以，
即.
当时，，，
则，
即，
又，
所以，
即.
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.
22、（1）6种；（2）；（3）.
【解析】
（1）从4条街中选择2条横街即可；
（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，，，，分别对4条路线进行分析计算概率；
（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.
【详解】
（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.
（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：
①当走时，全程不等红绿灯的概率；
②当走时，全程不等红绿灯的概率；
③当走时，全程不等红绿灯的概率；
④当走时，全程不等红绿灯的概率.
所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率
.
（3）设以下第条的路线等信号灯的次数为变量，则
①第一条：，则；
②第二条：，则；
③另外四条路线：；；
，则
综上，小明上学的最佳路线为；应尽量避开.
本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.