湖南省湘西土家族苗族自治州2026届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省湘西土家族苗族自治州2026届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的实部为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】由题意，
所以实部为7．
故选：B.
2. 已知集合满足，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，
，
又，
，且，
．
故选：A．
3. 以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设的半焦距为，
由的左、右焦点与上、下顶点连线围成的四边形是正方形，得，
由椭圆的定义得，，
所以椭圆的离心率．
故选：B.
4. 若函数的图像的一条对称轴为直线，则可以取（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三角函数图像的性质得，函数的图像的对称轴为直线，
可得，得，当时，成立．
故选：D.
5. 已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】设，则，，即，
令，解得或，
所以当或时，，当时，，
则在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以的极大值点为．
故选：B．
6. 若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为，
两圆内切，则它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直，
又两圆圆心所在直线的斜率为，
所以它们的公切线的斜率为．
故选：A.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原式
，
又，
所以，
，
故原式．
故选：C.
8. 设某地海拔（单位：m）为处的大气压（单位：kPa）为，海拔为处的大气压为，且满足，其中都是大于零的常数，表示海拔的平均气温（单位：K），记该地海拔为0m处的大气压为，下表列出了不同季节的数据：
若某天该地海拔的平均气温为300K，海拔的平均气温为285K，该地海拔1000m处的大气压为90kPa，海拔2000m处的大气压为80kPa，则这一天的季节为（ ）
附：，，．
A. 春季B. 夏季C. 秋季D. 冬季
【答案】A
【解析】由题意，将相应的数据分别代入，
可得，，
所以，整理得．
根据参考数据可知，
，
所以，由于，
故此时当地的季节为春季．
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平行四边形中，，，记，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，即，故B正确；
对于C，，，若，
则，即，故C正确；
对于D，，
由，得，
所以，所以，故D正确．
故选：BCD.
10. 已知样本数据5，6，5，8，5，的中位数与平均数相等，则（ ）
A. B. 这组样本数据的上四分位数为6
C. 这组样本数据的极差为7D. 这组样本数据的方差为13
【答案】BC
【解析】对于A，由题意知，该组数据的平均数为，
当时，中位数为5，令，解得，符合题意；
当时，中位数为，令，解得，不符合题意；
当时，中位数为5.5，令，解得，不符合题意；
综上所述，故A错误．
对于B，，将样本数据从小到大排列为，
第五个数为6，故B正确．
对于C，最大的数为8，最小的数为1，极差为7，故C正确．
对于D，，故D错误．
故选：BC.
11. 已知函数，其中且，则下列说法正确的是（ ）
A. 有且仅有个零点
B. 存在，使得在定义域内单调递增
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，令，由，得，
则方程有唯一解，即有个零点，故A正确；
对于B，由题意知的定义域为．
若，当从左边趋近于时，，，且，所以；
当从右边趋近于1时，，，且，
所以，因此不可能单调递增．
若，当从左边趋近于时，，，且，所以；
当从右边趋近于1时，，，且，
所以，因此不可能单调递增．故B错误；
对于C，，
当时，
，
因为，所以，，
则，即，故C正确．
对于D，当时，显然成立；
当时，因为，所以，易知，
此时，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知各项均为正数的等比数列满足，，则______．
【答案】
【解析】设的公比为，
则，得，
所以．
故答案为：.
13. 在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则______．
【答案】3
【解析】连接，相交于，则,
由正棱柱的性质可知平面，平面，
所以，又,平面，
则平面，且,
所以四棱锥的高为，
其体积为，解得．
故答案为：.
14. 已知双曲线的右焦点为，直线与交于两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为______．
【答案】
【解析】如图，设的左焦点为，连接，，
，
，
，
，．
设的半焦距为，则，
由对称性，可得，
，
，
在中，由余弦定理得，
又，即，
联立两式，得，
化简，得，故离心率．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 有6张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机抽取1张卡片，连续抽取两次，记抽到的卡片上的数字依次为．
（1）若有放回地抽取，记事件为“”，求；
（2）若无放回地抽取，记，求的分布列与数学期望．
【答案】解：（1）有放回地抽取两次，则不同的结果共有（种）．
满足的有序数对有，，，共3种情况，
故．
（2）的所有可能取值为1，2，3，4，5，
，，，
，．
所以的分布列为
所以．
16. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】解：（1）因为，是公差为的等差数列，
所以，即．
当时，，整理可得，
所以，，，，，
累乘得，所以（也满足该式），
故．
（2）由（1）知，
所以，
所以．
17. 如图，内接于圆柱的下底面圆，是圆柱下底面圆的直径，是圆柱的母线，，且，．
（1）求点到平面的距离；
（2）是圆柱上底面圆周上一点，若二面角的大小为，求．
【答案】解：（1）是圆柱的母线，平面，
又平面，，
是下底面圆的直径，，
又，、平面，
平面，
又，
故点到平面的距离为2；
（2）如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由题意知圆柱底面圆的半径为，可设，，
由已知可得，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
可取，
易知平面的一个法向量为．
二面角的大小为，
，
解得或（舍去），
，或，
若，则，
若，则，
故或．
18. 在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）．
（1）证明：为定值；
（2）证明：；
（3）设为直线的交点，，求的最小值．
【答案】（1）证明：由题意设直线的方程为，
联立与直线的方程，消去，得，，
设，，则，．
，为定值．
（2）证明：直线，与的方程联立，消去，得，
或，，同理，．
．
又，，故．
（3）解：由（2）知，是的中位线，分别是的中点．
如图，取的中点，则，
．
，其中，
，即，
，
，当时，取等号，
的最小值为．
19. 已知函数，其中．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点；
（3）在（2）的条件下，证明：．
【答案】（1）解：若，则，求导得，
，
又，
所求的切线方程为．
（2）证明：函数求导得：．
当时，，，又，所以．
当时，令，则，
，则在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，且，，
存在，使得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
，
又，存在，使得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在上存在唯一极（小）值点．
，又，
存在，使得，
在上存在唯一零点，得证．
（3）证明：，，
，得，，
，等价于．
结合（2）的分析，，，
，即，
同理，
．
在区间上单调递减，要证，只需证．
又在上单调递增，只需证．
，
借助，可得，
令，
则恒成立，
在上单调递增，，即成立，得证．
不等式成立．
季节
春季
夏季
秋季
冬季
1
2
3
4
5