2027届云南省西双版纳傣族自治州高考数学倒计时模拟卷（含答案解析）

这是一份2027届云南省西双版纳傣族自治州高考数学倒计时模拟卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了复数的，函数的大致图象为，若复数，复数在复平面内对应的点为则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（ ）
A．B．C．D．
2．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，是单位向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．复数的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
A．B．C．D．
8．函数的大致图象为
A．B．
C．D．
9．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．复数在复平面内对应的点为则（ ）
A．B．C．D．
11．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按，，编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母，，的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．运行如图程序，则输出的S的值为（ ）

A．0B．1C．2018D．2017
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列为等比数列，，则_____.
14．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．
15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
16．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角平面角的余弦值.
18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长.
19．（12分）已知，函数.
（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；
（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.
20．（12分）已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的单调区间；
（2）当时，证明：
21．（12分）已知函数
（1）当时，证明，在恒成立；
（2）若在处取得极大值，求的取值范围.
22．（10分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可
【详解】
设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.
因为，所以，解得.
因为，所以.
设，易知平面ABC，则.
因为，所以，
即，解得.所以球Q的半径.
故选：A
本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题
2、D
【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．
【详解】
∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，
∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，
∵d∈[1，2]，λ2是减函数，
∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．
故选D．
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3、B
【解析】
求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由，得，则集合，
所以，.
故选：B.
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题.
4、C
【解析】
设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案；
【详解】
设，，
是单位向量，,
，，
联立方程解得：或
当时，；
当时，；
综上所述：.
故选：C.
本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况.
5、A
【解析】
分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，
则当时，得，即，
则满足，
则，即，则，
设，则，
当，解得，当，解得，
当时，函数取得最小值，
当时，；
当时，，
所以，即的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
6、C
【解析】
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.
7、A
【解析】
阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.
【详解】
因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.
故选：A.
本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.
8、A
【解析】
因为，所以函数是偶函数，排除B、D，
又，排除C，故选A．
9、B
【解析】
化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．
【详解】
是纯虚数，则，，
，对应点为，在第二象限．
故选：B．
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
10、B
【解析】
求得复数，结合复数除法运算，求得的值.
【详解】
易知，则.
故选：B
本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.
11、B
【解析】
首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”， 记事件“恰好不同时包含字母，，”为，利用对立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为（个），
则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”
记事件“恰好不同时包含字母，，”为，则.
故选：B
本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．
12、D
【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得
第一次：，不满足条件；
第二次：，不满足条件；
第三次：，不满足条件；
第四次：，不满足条件；
第五次：，不满足条件；
第六次：，满足条件，退出循环．输出1．选D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、81
【解析】
设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解.
【详解】
设数列的公比为，由题意知，

因为，由等比数列通项公式可得，
，解得，
由等比数列通项公式可得，
.
故答案为：
本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.
14、2
【解析】
利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值.
【详解】
由题意AB中有且只有一个元素，所以，即.
故答案为：.
本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.
15、
【解析】
由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
16、
【解析】
利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】
的二项展开式的通项公式：，
令，解得.
∴，
解得.
故答案为：-2.
本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.
【详解】
（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.
由平面平面，且交于，平面，有平面，
由平面平面，且交于，平面，有平面
，所以∥，又平面，平面，所以∥平面
，由，有，∥，又平面，平面
，所以∥平面，
由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系
由面，所以面的法向量可取，
点，点，点，，，
设面的法向量，所以
，取，
二面角的平面角为，则为锐角.
所以
本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.
18、
【解析】
由，化简得，由，所以直线的直角坐标方程为，因为曲线的参数方程为，整理得，直线的方程与曲线的方程联立，，整理得，设，则，根据弦长公式求解即可.
【详解】
由，化简得，
又因为，所以直线的直角坐标方程为，
因为曲线的参数方程为，消去，整理得，
将直线的方程与曲线的方程联立，，消去，整理得，
设，则，
所以，
将，代入上式，整理得.
本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.
19、（1）（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；
（2）不妨设，，，
利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；
【详解】
解：（1）∵
∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，
∴在上恒成立.设，
∵函数在上单调递增，∴，
∴，∴实数的取值范围为.
（2）不妨设，，，
则，
∴.
∵，∴，
又，令，∴，
∴在上为减函数，∴，
∴，即，
∴在上是减函数，∴，即，
∴，
∴当时，.
∵，∴.
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20、（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析
【解析】
（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.
（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.
【详解】
（1）函数
可求得，则
解得
所以，定义域为
，
在单调递增，而，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时是函数的极小值点，
的递减区间为，递增区间为
（2）证明：当时，
，
因此要证当时，，
只需证明，
即
令，
则，
在是单调递增，
而，
∴存在唯一的，使得，
当，单调递减，当，单调递增，
因此当时，函数取得最小值，
，
，
故，
从而，即，结论成立.
本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.
21、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据，求导，令，用导数法求其最小值.
设研究在处左正右负，求导，分 ，，三种情况讨论求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
令，则，
所以是的增函数，
故，
即.
因为
所以，
①当时，，
所以函数在上单调递增.
若，则
若，则
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以在处取得极小值，不符合题意，
②当时，
所以函数在上单调递减.
若，则
若，则
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以在处取得极大值，符合题意.
③当时，，使得，
即，但当时，即
所以函数在上单调递减，
所以，即函数)在上单调递减，不符合题意
综上所述，的取值范围是
本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）设，则由题设条件可得，化简后可得轨迹的方程.
（2）设直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得，结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.
【详解】
（1）设，则圆心的坐标为，
因为以线段为直径的圆与轴相切，
所以，
化简得的方程为.
(2)由题意，设直线，
联立得，
设 （其中）
所以，，且，
因为，所以，
，所以，故或 （舍），
直线，
因为的周长为
所以.
即，
因为.
又，
所以，
解得，
所以.
本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.