2024北师大版数学八上第一章《回顾与思考》课件

这是一份初中北师大版（2024）回顾与思考教学演示课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了创设情境，单元结构图，知识要点，勾股定理，勾股定理的逆定理，勾股数，分类思想，查漏补缺，双垂图，逆向思维等内容，欢迎下载使用。
在美丽的勾股树下，回顾、反思、提升。
如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么
a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数
三、勾股定理与勾股定理的逆定理的比较
以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有 a2 + b2 =c2 关系式成立.
以一个三角形的三边 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2 为条件，得出这个三角形是直角三角形的结论
 都与三角形三边有关； 都与直角三角形有关
1. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 ，则第三边长的平方是（　　）A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25
2. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为______.
3.下列以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a = 1.5，b = 2，c = 3 B. a = 7，b = 24，c = 25 C. a = 6，b = 8，c = 10 D. a = 3，b = 4，c = 5
4.如图1，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形. 图 2 由图 1 的两个小正方形向外分别作直角边之比为 4 : 3 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图 中所有正方形的面积和为 ( )A.200 D.125
5. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想. 下列选项中的图形， 不能证明勾股定理得是 ( )
6. 观察下列等式.第 1 个等式：(22 - 1)2 + 42 = 52；第 2 个等式：(32 - 1)2 + 62 = 102；第 3 个等式：(42 - 1)2 + 82 = 172；第 4 个等式：(52 - 1)2 + 102 = 262.(1) 请用含 n ( n 为正整数，且 n > 1) 的等式表示上面的规律，并证明其正确性.
解：(n2 - 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2
(n2 - 1)2 + (2n)2 = n4 - 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2.
(2) 若三个整数能构成直角三角形的三边长，则称这三个数为勾股数 (例如，3，4，5). 现有一个直角边为 35 的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用 (1) 中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由.
(2) 它的三边长能为勾股数. 理由如下：
35 = 36 - 1 = 62 - 1，
把 n = 6 代入，得 (62 - 1) + (2×6)2 = (6+1)2，
即 352 + 122 = 372，
它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37.
7.如图，某人欲横渡一条河， 由于水流的影响，实际上岸地点 A 处偏离欲到达地点 B 处 40 m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多 10 m 求该河的宽度 BC 的长.
解：设 BC 为 x m，则 AC 为 (x + 10) m.
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，由勾股定理得
AC2 + AB2 = BC2，即 (x + 10)2 = 402 + x2.
解得 x = 75，即 BC = 75 m.
答：该河的宽度 BC 为 75 m.
8. B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为 BM = 16 n mile，乙船航行的距离为 BP = 30 n mile.因为 162+302 = 1156，342 = 1156，所以 BM2 + BP2 = MP2.所以△MBP 为直角三角形.所以∠MBP = 90°.所以 乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的.
9. 小明家住在 18 层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿.如果电梯的长、宽、高分别是 1.5 米、1.5 米、2.2 米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
x2 = 1.52 + 1.52 = 4.5
AB2 = 2.22 + x2 = 9.34
能放入电梯内的竹竿的最大长度大约 3.1 米，因为竹竿放不进去，所以小明买的竹竿至少是 3.1 米.
专题1.立体图形中的最短路径问题
【方法技巧】先把立体图形展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”求解．
10.如图，长方体的长为2，宽为1，高为4.一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点A斜对角的点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是____．
11.如图，圆柱形玻璃杯的底面周长为18 cm，高为12 cm，在杯内距杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处．若蚂蚁要吃到蜂蜜，则最短爬行路程为____cm.
12.如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20 cm，长都是50 cm，宽都是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是 ( ) A. 100 cm B．120 cm C．130 cm D．150 cm
13.如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为16 dm，3 dm，1.5 dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 ( ) A．20 dm B．25 dm C．30 dm D．35 dm
解决这类问题的关键是抓住对称性．一般设未知数，由勾股定理列出含有平方关系的方程，运用方程思想分析和解决问题．
14. 如图，将等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)沿EF折叠，使点A落在边BC的中点A1处，BC＝6，求线段AE的长．
解：依题意，得A1E＝AE，A1B＝ BC，BE＝AB－AE＝BC－AE.在Rt△A1BE中，由勾股定理，得AE2＝ ＋(BC－AE)2，即AE2＝32＋(6－AE)2，解得AE＝
(变式1)如图，在长方形ABCD中，AB＝15，BC＝25，E，F分别是边AD，BC上的点．将长方形ABCD沿EF折叠,点C恰好与点A重合,点D落在点G处,求AE的长．
解：由折叠，得∠AGE＝∠ADC＝ 90°，GE＝DE，AG＝CD＝15.设GE＝DE＝x，则AE＝25－x.在Rt△AEG中，由勾股定理，得AG 2＋GE 2＝AE 2，即152＋x2＝(25－x)2，解得x＝8.∴AE＝25－8＝17.
(变式2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10.在边AC上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使AB与直线BC重合，点A的对应点为D，求CE的长．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝102－62＝64，∴AC＝8.由折叠，得BD＝AB＝10，DE＝AE.在Rt△CDE中，CE2＋CD2＝DE2，即CE2＋(10－6)2＝(8－CE)2，解得CE＝3.
(变式3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上．把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则BD＝____．
(变式4)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB的中点C′处．若AB＝6,BC＝9,求BF的长.
解：依题意，得BC′＝AB，C′F＝CF＝BC－BF.在Rt△BFC′中，由勾股定理，得BF2＋ ＝(BC－BF)2，即BF2＋32＝(9－BF)2，解得BF＝4.