辽宁省锦州市2026-2027学年高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份辽宁省锦州市2026-2027学年高考数学二模试卷（含答案解析），共11页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则“ ”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（ ）m．
A．1B．C．D．2
3．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．
5．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：
①在抛物线上满足条件的点仅有一个；
②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；
③无论过点的直线在什么位置，总有；
④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A．B．C．D．
7．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．84
12．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若在上单调递减，则的取值范围是_______
14．在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为____________．
15．设等比数列的前项和为，若，，则__________．
16．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知分别是的内角的对边，且．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若，，求的面积．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．
18．（12分）如图， 在四棱锥中， 底面， ，， ，，点为棱的中点.
（1）证明：：
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若为棱上一点， 满足， 求二面角的余弦值.
19．（12分）已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和.
20．（12分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求锐二面角的大小．
21．（12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=1．
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：…，求{bn}的前n项和．
22．（10分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点.
求实数的取值范围；
若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；
若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．
【详解】
∵a，b∈（1，+∞），
∴a＞b⇒lgab＜1，
lgab＜1⇒a＞b，
∴a＞b是lgab＜1的充分必要条件，
故选C．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．
2、C
【解析】
由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解
【详解】
由题中图像可得，
由变速直线运动的路程公式，可得
．
所以物体在间的运动路程是．
故选：C
本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
3、D
【解析】
根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.
【详解】
由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.
本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.
4、C
【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，
所以，.
故选：C.
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
5、C
【解析】
①：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.
【详解】
解：对于①，设，由抛物线的方程得，则， 故，
所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；
对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，
故，
当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；
对于③，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：，
设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，
，整理得，则，所以
，
则
.故的倾斜角互补，所以，故③正确.
对于④，由题意知 ，由③知，
则 ，由，
知，即三点在同一条直线上，故④正确.
故选:C.
本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.
6、C
【解析】
分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
故选：C
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
7、A
【解析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为.
故选：A.
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.
8、B
【解析】
连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解．
【详解】
如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
故选：B.
本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．
9、A
【解析】
由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.
【详解】
如图，连接OP，AM，
由题意得，
点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，
.
故选：A.
本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
10、D
【解析】
由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.
【详解】
由题意得，，
，.
故选：D.
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.
11、B
【解析】
画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.
【详解】
该几何体的直观图如图所示：
故.
故选：.
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
12、C
【解析】
判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得．
【详解】
如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴，
设，则，，∴,．
故选：C．
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意可得导数在恒成立，解出即可．
【详解】
解：由题意，，
当时，显然，符合题意；
当时，在恒成立，
∴，
∴，
故答案为：．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
14、
【解析】
设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
，利用求向量模的公式，可得，根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求.
【详解】
解：设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
则，
即，
由，可得.
则.
故答案为：.
本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.
15、
【解析】
由题意，设等比数列的公比为，根据已知条件，列出方程组，求得的值，利用求和公式，即可求解．
【详解】
由题意，设等比数列的公比为，
因为，即，解得，，
所以.
本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
16、
【解析】
试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
考点：函数单调性
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，；
（Ⅱ）由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，，
因为，
所以；
（Ⅲ）由于，．
所以．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18、（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】
（1）根据题意以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出，由空间向量数量积运算即可证明.
（2）先求得平面的法向量，即可求得直线与平面法向量夹角的余弦值，即为直线与平面所成角的正弦值；
（3）由点在棱上，设，再由，结合，由空间向量垂直的坐标关系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵底面，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，，点为棱 的中点．
∴，，，，
，
，
.
（2）,
设平面的法向量为.
则，代入可得，
令解得，即，
设直线与平面所成角为，由直线与平面夹角可知

所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3），
由点在棱上，设，
故，
由，得，
解得，
即，
设平面的法向量为，
由，得，
令，则
取平面的法向量，
则二面角的平面角满足，
由图可知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计算量较大，属于中档题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得.
【详解】
（Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知.
、、成等差数列成等差数列，，，
即，解得或（舍去），.
数列的通项公式为；
（Ⅱ），
.
本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.
20、（1）；（2）.
【解析】
(1) 以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为再求解与平面的法向量,继而求得直线与平面所成角的正弦值即可.
(2)分别求解平面与平面的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.
【详解】
解：在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点
所以平面取的中点的中点
所以两两垂直,故以点为坐标原点,
以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．
设底面正方形边长为
因为
所以
所以,
所以,
设平面的法向量是,
因为,,
所以,,
取则,
所以
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设平面的法向量是,
因为,,
所以,
取则
所以,
由知平面的法向量是,
所以
所以,
所以锐二面角的大小为．
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.
21、（I）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，则依题设．
由,可得．
由，得，可得．
所以．
可得．
（Ⅱ）设，则.
即，
可得，且．
所以，可知．
所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前项和．
考点：等差数列通项公式、用数列前项和求数列通项公式．
22、；4；12.
【解析】
由题意可知，，求导函数，方程在区间上有实数解，求出实数的取值范围；
由，则，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数的最大值；
设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，
整理得.所以，求得，设，则，
所以在上单调递增，最后求出实数的值.
【详解】
由题意可知，，则，
即方程在区间上有实数解，解得；
因为，则，
①当，即时，恒成立，
所以在上单调递增，不符题意；
②当时，令，
解得：，
当时，，单调递增，
所以不存在，使得在上的最大值为，不符题意；
③当时，，
解得：，
且当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，则在上单调递减，所以，
若，则上单调递减，在上单调递增，
由题意可知，，即，
整理得，
因为存在，符合上式，所以，解得，
综上，的最大值为4；
设直线与曲线的切点为，
因为，所以切线斜率，
即切线方程
整理得：
由题意可知，，即，
即，解得
所以切线方程为，
设直线与曲线的切点为，
因为，所以切线斜率，即切线方程为，
整理得.
所以，消去，整理得，
且因为，解得，
设，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，即.
本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.