2026-2027学年四川省泸州市高考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份2026-2027学年四川省泸州市高考数学四模试卷（含答案解析），共8页。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）.
A．B．C．D．
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A．收入最高值与收入最低值的比是
B．结余最高的月份是月份
C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同
D．前个月的平均收入为万元
3．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）
A．170B．10C．172D．12
5．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）
A．B．C．D．
6．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为( )

A．3B．3.4C．3.8D．4
9．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
12．已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．
14．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．
15．函数的定义域为，其图象如图所示．函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，．给出下列三个结论：
①；
②函数在内有且仅有个零点；
③不等式的解集为．
其中，正确结论的序号是________．
16．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.
（1）求的值；
（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
18．（12分）如图，三棱锥中，
（1）证明：面面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为，王慧每次击中鼓的概率为；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.
（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望.
20．（12分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求锐二面角的大小．
21．（12分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
求C；
若，求，的面积
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
易得，，又，平方计算即可得到答案.
【详解】
设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，
所以，又，
故，，，
所以，即，
故离心率为.
故选：C.
本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.
2、D
【解析】
由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；
结余最高为月份，为，故项正确；
至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；
前个月的平均收入为万元，故项错误．
综上，故选．
3、D
【解析】
以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.
【详解】
如图建系，则，，，
由，易得，则.
故选：D
本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
4、D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
5、D
【解析】
这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.
【详解】
解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：
故选：D
考查几何概型，是基础题.
6、D
【解析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率.
【详解】
.
故选:D.
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.
7、B
【解析】
由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．
【详解】
解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，
又由点P在AM上且满足
∴P是三角形ABC的重心
∴

又∵AM＝1
∴
∴
故选B．
判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．
8、D
【解析】
根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.
【详解】
由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为和
一个底面半径为，高为的圆柱组合而成.
该几何体的表面积为
，
解得，
故选：D.
本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.
9、C
【解析】
恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.
【详解】
由题意知函数的定义域为，
.
因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.
令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.
故选：C
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.
10、B
【解析】
根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.
【详解】
A选项，若，，，，则或与相交；故A错；
B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；
C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；
D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；
故选B
本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.
11、B
【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．
【详解】
依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.
故选B．
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
12、A
【解析】
利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.
【详解】
依题意，对应点为，在第一象限.
故选A.
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值.
【详解】
由题意AB中有且只有一个元素，所以，即.
故答案为：.
本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.
14、
【解析】
令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.
【详解】
令，
则得，
解得，
所以展开式中含项为：，
故答案为：
本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.
15、①③
【解析】
利用奇函数和，得出函数的周期为，由图可直接判断①；利用赋值法求得，结合，进而可判断函数在内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论.
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
又，所以，即，
所以，函数的周期为.
对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；
对于②，，令，可得，得，
所以，函数在区间上的零点为和.
因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；
对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.
故答案为：①③.
本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．
16、
【解析】
计算得到||，||csα﹣1，解得csα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.
【详解】
由（）•（）＝0 可得 （）•||•||csα﹣1×2cs||•||csα﹣1，α为与的夹角．
再由 2•1+4+2×1×2cs7 可得||，
∴||csα﹣1，解得csα．
∵0≤α≤π，∴﹣1≤csα≤1，∴1，即||+1≤0，解得 ||，
故答案为．
本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析
【解析】
（1）根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可得解；
（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表，再用的计算公式运算即可；
（3）获奖的概率为，随机变量，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知，，
因为构成以2为公比的等比数列，所以，解得，
所以，.
故，，.
（2）获奖的人数为人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为.
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人.
于是可以得到列联表如下：
所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
（3）由（2）可知，获奖的概率为，
的可能取值为0，1，2，
，
，
，
分布列如下：
数学期望为.
本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．
18、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连结，证明平面得到答案.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）取中点，连结，，，
，，为直角，，
平面，平面，∴面面.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，
可取为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为.
则，其中，
，不妨取，则.
.
为锐二面角，∴二面角的余弦值为.
本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19、（1）（2）详见解析
【解析】
（1）要积分超过分，则需两人共击中次，或者击中次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件为“张明第次击中”，事件为“王慧第次击中”，，由事件的独立性和互斥性可得（张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是.
（2）的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.
，
，
，
，
.
∴的分布列为
∴（分）
本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识.
20、（1）；（2）.
【解析】
(1) 以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为再求解与平面的法向量,继而求得直线与平面所成角的正弦值即可.
(2)分别求解平面与平面的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.
【详解】
解：在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点
所以平面取的中点的中点
所以两两垂直,故以点为坐标原点,
以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．
设底面正方形边长为
因为
所以
所以,
所以,
设平面的法向量是,
因为,,
所以,,
取则,
所以
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设平面的法向量是,
因为,,
所以,
取则
所以,
由知平面的法向量是,
所以
所以,
所以锐二面角的大小为．
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.
21、（1）证明见解析 （2）
【解析】
(1)先证，再证，由可得平面 ，从而推出平面 ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.
【详解】
（1）证明：连接，，由图1知，四边形为菱形，且，
所以是正三角形，从而.
同理可证，，
所以平面.
又，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
易知，且为的中点，所以，
所以平面.
（2）解：由（1）可知，，且四边形为正方形.设的中点为，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
由得
取.
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.
22、 (1)．(2)．
【解析】
由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得，结合范围，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值．
由及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
由已知可得，
又由正弦定理，可得，即，
，
，
，即，
又，
，或舍去，可得，
．
，，，
由正弦定理，可得，
，
．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
文科生
理科生
合计
获奖
6
不获奖
合计
400
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400
0
1
2
－200
－50
100
250
400