2027届云南省怒江傈僳族自治州高考压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2027届云南省怒江傈僳族自治州高考压轴卷数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知双曲线，在中，角的对边分别为，若，设函数满足，则的图像可能是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A．B．C．6D．与点O的位置有关
4．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A．8B．16C．D．
5．在中，角的对边分别为，若．则角的大小为( )
A．B．C．D．
6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．设函数满足，则的图像可能是
A．B．
C．D．
9．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）
A．B．1C．D．2
10．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）．
A．B．
C．D．
11．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
12．若为纯虚数，则z＝（ ）
A．B．6iC．D．20
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.
14．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.
15．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________．
16．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为的前n项和，求证：.
18．（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.
（1）证明:平面
（2）若，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．
（1）求线段长的最小值；
（2）求点的轨迹方程．
22．（10分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：
y与x可用回归方程 （ 其中，为常数）进行模拟．
（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．
（Ⅱ）据统计，10月份的连续11天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图所示．
（i）若从箱数在内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在内的概率；
（ⅱ）求这11天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）
参考数据与公式：设，则
线性回归直线中，，．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】
解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：
可知点,，
在处有最小值，最小值为.
故选：B.
本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.
2、A
【解析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．
【详解】
在中，，，，由余弦定理，得，
所以.
所以所求概率为.
故选A.
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
3、B
【解析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.
【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，
正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，
顶点O在平面上，高为2，
所以四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
故选:B.
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
4、D
【解析】
根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，
则
所以，
四边形的内切圆面积为，
则，解得，
则，
即
故由基本不等式可得，即，
当且仅当时等号成立.
故焦距的最小值为.
故选：D
本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.
5、A
【解析】
由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值．
【详解】
解：∵，
∴由正弦定理可得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选A．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6、C
【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
此时椭圆长轴长为，短轴长为6，
所以椭圆离心率，
所以.
故选：C
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.
7、D
【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；
【详解】
，
对应的点，
对应的点位于复平面的第四象限.
故选：D.
本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
8、B
【解析】
根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．
由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
9、B
【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.
【详解】
解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根
∴
又是正项等比数列，所以
∴.
故选：B
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
10、B
【解析】
奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可.
【详解】
A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误；
B：定义域关于原点对称，且
满足奇函数，又，所以在上，正确；
C：定义域关于原点对称，且
满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误；
D：定义域关于原点对称，且，
满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误；
故选：B
此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.
11、D
【解析】
以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.
【详解】
如图建系，则，，，
由，易得，则.
故选：D
本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
12、C
【解析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.
【详解】

∵为纯虚数，
∴且
得，此时
故选：C.
本题考查复数的概念与运算，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据双曲线上的点的坐标关系得，交圆于点，所以，建立等式，两式作商即可得解.
【详解】
设
，
交圆于点，所以
易知:
即.
故答案为：
此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.
14、1
【解析】
建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．
【详解】
解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，
设，则，，
，，，
，
，
显然当取得最大值4时，取得最小值1．
故答案为：1．
本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．
15、
【解析】
设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程
【详解】
设直线．
由题设得，故，
由题设可得．
由可得，
则，
从而，得，
所以l的方程为,
故答案为：
本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
16、{5}
【解析】
易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用与的关系即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【详解】
解析：（1）当时，；
当，，可得，
又∵当时也成立，；
（2），
本题主要考查了与的关系、裂项求和法，属于基础题.
18、（1）（）；（2）.
【解析】
（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.
（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .
【详解】
（1）由消得，即，
是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.
（2）由得，∴，
由得∴，∴.
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.
（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量
，，最后求得二面角的余弦值为.
【详解】
解：（1）连结
∵ ，且是的中点，
∴
∵平面平面，
平面平面，
∴平面.
∵平面，
∴
又为菱形，且为棱的中点，
∴
∴.
又∵，平面
∴平面.
（2）由题意有，
∵四边形为菱形，且
∴
分别以，，所在直线为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
设平面的法向量为
由，得，
令，得
取平面的法向量为
∴
二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为
处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.
20、（1）12（2）
【解析】
（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义；
（2）求出椭圆的标准方程，设，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面积，即可求解最大值.
【详解】
（1）设椭园的焦距为，则，故.则椭圆过点，由椭圆定义知:，故，
因此，的周长；
（2）由（1）知:，椭圆方程为:设，则，
，，，，
当且仅当在短轴顶点处取等，故面积的最大值为.
此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.
21、（1）（2）
【解析】
（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.
（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于可求解，最后验证当点与点重合时也满足.
【详解】
解曲线的方程化成直角坐标方程为
即
圆心，半径，曲线为过定点的直线，
易知在圆内，
当时，
线段长最小为
当点与点不重合时，
设
，
化简得
当点与点重合时，也满足上式，
故点的轨迹方程为
本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.
22、（Ⅰ）1131；（Ⅱ）（i）；（ⅱ）125箱
【解析】
（Ⅰ）根据参考数据得到和，代入得到回归直线方程，，
再代入求成本，最后代入利润公式；
（Ⅱ）（ⅰ）首先分别计算水果箱数在和内的天数，再用编号列举基本事件的方法求概率；（ⅱ）根据频率分布直方图直接计算结果.
【详解】
（Ⅰ）根据题意，，
所以，所以．又，所以．
所以时，（千元），
即该新奇水果100箱的成本为8314元，故该新奇水果100箱的利润．
（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在内的天数为
设这两天分别为a，b，水果箱数在内的天数为，设这四天分别为A，B，C，D，
所以随机抽取2天的基本结果为，，，，，，，，，，
，，，，，共15种．满足恰有1天的水果箱数在内的结果为
，，，，，，，，共8种，
所以估计恰有1天的水果箱数在内的概率为 ．
（ⅱ）这11天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为（箱）．
本题考查考查回归直线方程，统计，概率，均值的综合问题，意在考查分析数据，应用数据，解决问题的能力，属于中档题型.
x
1
3
4
1
2
y
5
1．5
2
2．5
8
0.54
1.8
1.53
0.45