湖北武汉市部分高中2026-2027学年高三上学期收心考试数学试卷（含答案）

这是一份湖北武汉市部分高中2026-2027学年高三上学期收心考试数学试卷（含答案），文件包含第七单元溶液-单元知识点梳理+练习含答案解析docx、第七单元溶液-单元知识点梳理+练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
1. 集合 A=x∈N∣x2−2x−3≤0,B={x∣x≤2} ,则 A∩B= ( )
A. {−1,0,1,2} B. {0,1,2} C. {1,2} D. [−1,2)
2. 复数 z=−21+i (其中 i 为虚数单位),则 z= ( )
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
3. 已知一组数据 a,b,1,3,5 的平均数为 3,方差为 2,则 ab= ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S4=6,S8=20 ,则 S16= ( )
A. 22 B. 30 C. 42 D. 72
5. 已知向量 a,b 满足 a=1,b=3 ，且满足 2a+b=17 ，则 a⋅b 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若 fx=ax,x>14−a2x+2,x≤1 是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为( ).
A. 0,8 B. 1,8 C. (4,8] D. 4,8
7. 若 csα−2sinβ=2,sinα+2csβ=−1 ,则 sinα−β= ( )
A. 13 B. −13 C. 12 D. −12
8. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为 F ，点 P,Q 在 C 上， PQ//x 轴，若 ∠PFQ=90∘ ，且 △PFQ 的周长为 247a ，则 C 的离心率为( )
A. 17 B. 16 C. 15 D. 14
二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 2x−1n 的展开式一共有 7 项，则()
A. n=6 B. 展开式中常数项为 -1
C. 展开式中 x3 的系数为 -160 D. 展开式的各项系数之和为 64
10. 如图是广场上供大家休息的石凳, 这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,若截去的八个四面体体积和是 16 ,则正确的有 ( )
A. 该多面体有 14 个面 B. 该多面体有 24 条棱
C. 该正方体的棱长为 2 D. 该多面体表面积为 3+3
11. 已知函数 fx 的定义域为 R ,且满足 f3x+1 为奇函数, fx+2 为偶函数,且 i=118fi=2 ,则下列说法正确的是 ( )
A. fx 为偶函数 B. 2 是 fx 的一个周期
C. fx 图象关于 3,0 对称 D. f2026=2
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 函数 y=sin2x+φ 的图像向左平移 π3 个单位长度后,得到的新函数为偶函数,若 φ∈0,π ，则 φ 的值为_____.
13. 已知双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线方程为 l:y=3x ,直线 x−3y=0 与 E 交于 M,N 两点,分别过点 M,N 作 l 的垂线,垂足为 P,Q . 若四边形 MPNQ 的面积为 33 ，则 E 的虚半轴长为_____.
14. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”. 如图，“三角垛”头 3 层，最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，每个球的半径都是 1 ，且相邻两球两两相切，现将“三角垛”放在水平地面上，
(1)该“三角垛”最上面球的球心到地面的距离为_____；
(2)若该“三角垛”能放入一个正四面体容器内(厚度忽略不计)，则该容器棱长的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (满分 13 分) 已知 △ABC 的三个角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 csAsinπ2+B=a2c−b.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 △ABC 的面积为 3 ，且 a=6 ，求 △ABC 的周长;
16. (满分 15 分) 如图，在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为梯形， AB⊥BC ， AB//CD,BC=CD=3,AB=AA1=6,AB1 与 A1B 交于点 H .
(1)证明:直线 DH// 平面 BCC1B1 .
(2)求平面 BDH 与平面 AB1D1 夹角的余弦值.
17. (满分 15 分) 2026 年 7 月 17 日至 20 日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴 共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话。某校组织学生参加 AI 知识网络答题活动,为了解男女学生参与答题意愿的差异, 男生、女生各调查了 100 人.设事件 A= “学生愿意报名参加答题活动”, B= “学生为男生”, 据统计 PA=25,PB∣A=13 .
(1)根据已知调查样本完成下列 2×2 列联表，并依据小概率值 α=0.001 的独立性检验,能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关?
(2)网络答题规则:假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 35 .
若答题活动设置 4 道题, 且答题规则如下: 每次答一题, 一旦答对, 则结束答题; 答错则继续答题,直到 4 道题答完. 已知甲同学报名参加答题活动,用 X 表示甲同学本次答题的题目数量,求 X 的分布列和期望.
参考公式与数据: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中 n=a+b+c+d .
18. (满分 17 分) 已知抛物线 E:y2=2pxp>0 ，直线 l1 与抛物线 E 相切，切点为 A1,2 . 过点 A 作直线 l1 的垂线 l2 ，点 B 在直线 l2 上(异于点 A )，以 B 点为圆心， AB 为半径作圆与抛物线 E 交于 C,D 两点.
(1)求直线 l1 的方程；
(2)已知直线 CD 与 l1 相交，记直线 AC 的斜率为 k1 ，直线 AD 的斜率为 k2 ，则
(i) 判断直线 CD 的斜率是否为定值,并说明理由.
(ii) 判断 k1+k2 是否为定值,并说明理由.
19. (满分 17 分) 已知 n∈N∗ ,函数 gx=n1−xnn,ℎx=n−x2e−x ,
(1)当 n=15 时，求函数 ℎx 的极值;
(2)讨论函数 gx 的单调性；
(3)证明:对 ∀x∈(−∞,n] ， ℎx≤gx 恒成立.性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计
200
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828